2017-2018年度福建泉州九上质检倒二题解析
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(2017-2018泉州九上质检倒二)
如图，在矩形ABCD中，CD＝4，P是射线DA上的一个动点，连结PC，点D关于PC的对称点为E，连结DE交PC于点M，过点E作EF⊥DE交射线DA于点F.
（1）求证：PD＝PF；
（2）若DP：PA＝2：1，当点E落在射线AB上时，求AE的长.
【图文解析】
（1）常规题.如下图示，由“点D关于PC的对称点为E”可得：EM＝DM，DE⊥PC， 同时DE⊥EF，可得∠PMD=∠E＝900，得到PC∥EF（人教版中没有“垂直于同一直线的两直线平行”这个定理，需经过证明）.再通过“平行线分线段成比例定理”不难得到PD：PF＝DM：EM＝1：1，因此PD＝PF.
（2）首先要画出符合条件的图形（这是解压轴题最重要的一个环节，下面分析如何画出草图，若已经掌握好画图，可以跳过下面两段文字）
由于P点是射线DA上的一个动点，E点落在射线AB上，因此自然想到（实际上试题已经暗示），可能有多个答案.
画图时，要理解好DP：PA＝2：1中点P与DA的关系，显然应有点P在DA上（P是DA的三等分的左分点）或在DA的延长线上（此时与前一点P恰好关于AB对称），又由于CD＝4，因此为了能让E点落在射线AB上，必须调整矩形的边AD的长度，通过尝试，可得到：（如下图示，第二个图按比例缩小）
下面分两种情况分析：
（本题仅用特殊角和三角函数来求解析，目的是为了强化特殊角的认识，达到“秒杀和口算”的效果，当然用相似来求解类似）
①当点P在边DA上时，
由于点D关于PC对称的点为E，可连结（人教版是“连接”）PE，则有PE＝PD，又因PD＝PF（（1）中的结论），得到PE＝PF＝PD，如下图示：
同时，由于DP：PA＝2：1，可设PA＝a，则DP＝2a(=PE=PF，上图示)，进一步地，又可以得到：（如下图示）
在直角三角形CDP中，由CD＝PDtan∠CPD，即4＝2a×tan600，解得a=2/（tan600）.
最后,回到Rt△EAF中，由于AF＝a=2/(tan600),∠EFA＝600，如下图示，因此有：
AE＝AF×tan∠EFA=atan600
=2/（tan600）×tan600＝2.
②当点P在边DA的延长线上时，如下图示：
类似情况一的分析，答案为6，下面只做简单图解.如下图示：
当然也可以用相似方法求解.
【拓展】
若第2问中的“点E落在射线AB上”改为“点E落在直线BC上”呢？其他条件不变，请画出图形，并求AE的长.
【提示】解法类似，符合条件的图如下（其中第二个图按比例缩小）
特别说明：
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