七下尖子生培优系列 ——相交线平行线(9)

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【例题】如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，

（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？并加以证明；

（2）若∠CEF=70°，求∠ACB的度数．

【分析】（1）由”CD∥AB”可得∠DCB=∠ABC=70°，又因∠CBF=20°，　　可得∠CBF=50°，从而∠EFB+∠CBF=180°，因此EF∥AB；

（2）由（1）得EF∥AB，又CD∥AB，可推出EF∥CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到∠ACD=180⁰－∠CEF＝110°，从而∠ACB＝∠ACD－∠DCB=110⁰－70°＝40°．

      如下图示：

【解】（1）EF∥AB．理由如下：

∵CD∥AB，∠DCB=70°，

∴∠DCB=∠ABC=70°，

∵∠CBF=20°，

∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=50°，

∵∠EFB=130°，

∴∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°，

∴EF∥AB.

（2）

∵EF∥AB，CD∥AB，

∴EF∥CD（平行公理），

∴∠ACD+∠CEF =180⁰

∵∠CEF=70°，

∴∠ACD=180⁰－∠CEF＝110°，

∵∠DCB=70°，

∴∠ACB=∠ECD﹣∠DCB

           ＝110⁰－70⁰＝40⁰，

即∠ACB=40°．

【点评】本题主要考查平行线的判定和性质定理，关键在于找出并确认图中的”三线八角“间的关系，因此熟练运用平行线的判定和性质是解题的关键.

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【拓展1】如图，CD∥AB，∠DCB=30°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，

（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？并加以证明；

（2）若∠CEF=110°，求∠ACB的度数．

【解】（1）EF∥AB．理由如下：

∵CD∥AB，∠DCB=30°，

∴∠DCB=∠ABC=30°，

∵∠CBF=20°，

∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=50°，

∵∠EFB=130°，

∴∠ABF+∠EFB=50°+130°=180°，

∴EF∥AB.

（2）

∵EF∥AB，CD∥AB，

∴EF∥CD（平行公理），

∴∠ACD＝∠CEF =110⁰

∵∠DCB=30°，

∴∠ACB=∠ACD﹣∠DCB

           ＝110⁰－30⁰＝80⁰，

即∠ACB=80°．

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【拓展2】如图，CD∥AB，∠DCB=80°，∠CBF=20°，∠EFB=80°，

（1）问直线EF与AB有怎样的位置关系？并加以证明；

（2）若∠CEF=70°，求∠ACB的度数．

解法与上述例题类似，这里略去过程.

答案：（1）EF∥AB；（2）∠ACB＝30⁰.

【反思】认清“三线八角“的角之间的位置和数量关系，熟练应用”三线八角“的基本图.

特别说明：

进入公众号，回复“1,2,3…13”中的任意一个数字，可查找到相应资料.

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