【适合八九年级】常考的几何动态题——三角形与四边形(6)(正方形与全等)

Original 2018-02-15 永泰一中　张祖冬 初中数学延伸课堂

如果对您的教与学有所帮助，请点击“初中数学延伸课堂”或扫描底部二维码关注，您的分享转发，是我坚持下去的动力和信心！

【说明】本系列的试题难度不大，但综合性均较强，尤其是在训练读图、画图、识图、作图及变式方面有一定的帮助作用，同时本系列试题多数适合于中考中的中档题，阅读时务必要体会“动中有静”的动态变化思想.

【试题】如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、AB上两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC于点G，过点G作CF的垂线交BC于点H延长线段AE、GH交于点M．

（1）求证：∠BFC=∠BEA；

（2）求证：AM=BG+GM．

【图文解析】

（1）简析：常规易题，直接证△ABE和△CBF全等，再利用全等三角形的性质即可得到结论，如下图示：

（2）图中有最常见的基本图形“直角三角形斜边上的高”，不难得到：

根据正方形的对称性，不难想到：可连接DG，可证得△ABG和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等，BG=DG，如下图示，同时有：

在△ADG中，∠DGC＝45⁰+α，在Rt△COG中，∠2＝90⁰－∠1＝90⁰－（α-45⁰）＝135⁰－α，所以∠DGC+∠2＝180⁰，因此D、G、H三点共线.

以可得到：AM＝MD，如下图示，

因此，AM=MD＝DG+GM＝=BG+GM．即AM=BG+GM．

【拓展】如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC、AB的延长线上的两点，且BE=BF，过点B作AE的垂线交AC的延长线于点G，过点G作CF的垂线交BC的延长线于点H，延长线段EA、GH交于点M．试找出线段AM、BG和GM的数量关系，并说明理由．

【解析】解法与原题类似，答案为AM+BG＝GM.

【反思】正方形图形完美，性质丰富，运用时，务必抓住其本质（如对称性）进行思考往往会高效快速。同时证明三点共线有多种方法，其中直接证三点构成的角是平角，是常法．

特别说明：

进入公众号，回复“1,2,3…13”中的任意一个数字，可查找到相应资料.

您的分享和转发，是我坚持的动力和信心！

强烈推荐：