【适合八九年级】常考的几何动态题——三角形与四边形(10)(正方形与等边三角形)
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【试题】如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在边BC、DC上，BE=DF，∠EAF=60°．
（1）若AE=2，求EC的长；
（2）若点G在DC上，且∠AGC=120°，求证：AG=EG+FG．
【图文解析】
（1）根据正方形的性质不难得到：AB=AD，∠B=∠D，利用“边角边”证得△ABE≌△ADF，得到AE=AF，又∠EAF=60°，从而得到△AEF是等边三角形，得到EF＝AE＝2，同时由“BC＝CD、BE＝DF”可得到CE＝CF，进一步得到△CEF为等腰直角三角形，所以EC＝EF/√2＝2/√2＝√2.
如下图示：
（2）本小题解法多种：因△AEF是等边三角形，故就“旋转“就有六法，分别说明如下：
为了后面叙述简单，先证A、E、G、F四点共圆.
由∠AGC=120°得∠AGD＝600，再由∠AGD＝∠AEF＝600可得到点A、E、G、F四点共圆（需证明——可用反证法，人教版中没有这个定理），如下图示：
法一： 将△AFG绕A点顺时针旋转600，得到△AEH，如下图示：
可得HE＝FG，∠AHE＝∠AFG，又在四边形AEGF中，∠AEG+∠AFG＝1800（圆内接四边形对角互补），得到∠AEH+∠AEG＝1800，所以H、E、G三点在同一直线上，再由旋转的性质得AH＝AG，∠GAH＝∠EAF＝600，所以△AGH是等边三角形，因此AG＝GH＝HE+EG＝EG+FG．如下图示：
（下面几种只作图析，有的方法不需要“四点共圆”）
法二：将△AFG绕F点逆时针旋转600，……
法三：将△AEG绕A点逆时针旋转600，……
法四：将△AEG绕E点逆时针旋转600，……
法五：将△EFG绕A点逆时针旋转600，……
法六：将△EFG绕F点逆时针旋转600，……
法七： 当然也可以通过三角函数计算方法进行求解，如下图法：（此法思路可掌握，但不建议，计算量较大）
当然还可以通过先计算出150（半角）的三角函数值，或者建立坐标系转化为函数关系求解也可，这里略去.
【点评】利用已知条件可得到A、E、F、G四点共圆，再通过旋转构造出全等三角形是解题的关键．
【反思】注意体会本例中的六种解法的一致性和统一性，第七种解法的通用性.
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