【适合八九年级】常考的几何动态题——三角形与四边形(11)(正方形与等腰三角形)
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【说明】本系列的试题难度不大，但综合性均较强，尤其是在训练读图、画图、识图、作图及变式方面有一定的帮助作用，同时本系列试题多数适合于中考中的中档题，阅读时务必要体会“动中有静”的动态变化思想.
【试题】如图，E是正方形ABCD的边AD上的动点，F是边BC延长线上的一点，且BF=EF，AB=12，设AE=x，BF=y．
（1）当△BEF是等边三角形时，求BF的长；
（2）求y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（3）把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A′处，试探索：△A′BF能否为等腰三角形？如果能，请求出AE的长；如果不能，请说明理由．
【图文解析】
（1）当△BEF是等边三角形时，如下图示：
显然有：∠ABE=∠ABC﹣∠EBC=90°﹣60°=30°，在Rt△ABE中，由cos∠ABE=BE/A可得：BE＝12/（cos300）=8√3，从而BF=8√3．如下图示：
（2）分析：可能通过三角函数的定义或勾股定理、相似建立方程，化简后即可得到所求的函数关系（常法，通法，务必熟练掌握）.
法一：过E点作EG⊥BC于G，如下图示：
由勾股定理不难得到：
y2=（y﹣x）2+122，
整理，得：y=(x2+144)/(2x)，其中0＜x＜12）．
法二：过F点作FG⊥BE于G，如下图示，因BF＝EF，则有BG＝0.5BE，
分别在Rt△BFG和Rt△ABE中，由cos∠1＝BG/y=cos∠2＝x/BE（或△ABE和△BFG相似）得，xy=BG×BE＝0.5BE2＝0.5（x2+144），化简得：y=(x2+144)/(2x)，其中0＜x＜12）．
法三：（类似法二，用相似）延长EA到E’，使AE‘＝AE，则有：（如下图示）
不难证得△BFE∽△EAE’，从而有
BE/y=2x/BE，得到BE2＝2xy,即有：x2+144＝2xy，……
（3）当把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A'处时，如下图示：
显然应有∠BA'F=∠BA'E=∠A=90°，若△A'BF成为等腰三角形，必须使A'B=A'F=AB=12，有FA′=EF﹣A′E=y﹣x=12，即y=x+12，如下图示：
再由（2）得：y=(x2+144)/(2x)
所以有：(x2+144)/(2x)＝12x，解得：x=-12±12√2，因x＞0，因此AE＝x＝-12+12√2.
【点评】本题利用了等边三角形和正方形、矩形、等腰三角形的性质，利用勾股定理或相似或三角函数的定义求解，务必要理解和体会其中的联系和常用思路，即所谓的常法和通法.
【拓展与变式】E是正方形ABCD的边AD延长线上的动点，F是边BC延长线上的一点，且BF=EF，AB=12，设AE=x，BF=y．画出图形，并解答：
(1)求y与x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点A′处，试探索：△A′BF能否为等腰三角形？如果能，请求出AE的长；如果不能，请说明理由．
提示：解法与思路与原题类似，本题不给答案，只提供部分图形如下：
特别说明：
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