【适合八九年级】常考的几何动态题——三角形与四边形(12)(正方形与等腰直角三角形、旋转)
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【说明】本系列的试题难度不大，但综合性均较强，尤其是在训练读图、画图、识图、作图及变式方面有一定的帮助作用，同时本系列试题多数适合于中考中的中档题，阅读时务必要体会“动中有静”的动态变化思想.
【试题】如图1，在正方形ABCD中，BD是对角线，点E在BD上，△BEG是等腰直角三角形，且∠BEG=90°，点F是DG的中点，连结EF与CF．
(1)求证：EF=CF，EF⊥CF；
(2)如图2，若等腰直角三角形△BEG绕点B按顺时针旋转45°，其他条件不变，请判断△CEF的形状，并证明你的结论．
【图文解析】
(1)本小题属于基础题，有现成的可以利用直角三角形的相关性质，如下图示：
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=DF=0.5DG，CF=DF=0.5DG，从而EF=CF.
另一方面，根据“等边对等角”又可得∠FDE=∠FED，∠FCD=∠FDC，再根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得到：∠EFC=∠EFG+∠CFG＝2∠EDF+2∠CDF＝2（∠EDF+∠CDF）＝2∠BDC，而∠BDC=45°（根据正方形的对角线平分一组对角求出），得到∠EFC=90°，所以EF⊥CF.如下图示：
(2)
法一：由“中点”易想到：倍长EF或延长EF交CD于H，本质相同，但倍长EF后需证明D、G、C三点在同一直线上，相对麻烦，所以选择：延长EF交CD于H，如下图示：
根据正方形的性质（∠BCD＝900）和由∠BEG＝900得到∠CEG＝900，得到∠CEG＝∠BCD，得到EG∥CD，再根据“两直线平行，内错角相等”得到∠EGF=∠HDF，通过“AAS”可得△EFG≌△HFD，得EG=DH且EF=FH，同时结合BC＝CD进一步得到CE=CH，如下图示：
最后根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得到：EF=CF，EF⊥CF．
法二：（只做图解），如下图示：
【点评】本题考查了正方形和等腰三角形、直角三角形以及全等三角形的性质的综合运用，构造等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．
【拓展】在原例题的第2题的基础上，若等腰直角三角形△BEG图2位置开始，继续绕点B按旋转任意角度，其他条件不变，请判断△CEF的形状，画出符合条件的一个图形，并证明你的结论．
【解答提示】解法类似，不做详解（结论仍然成立，图形如下：
说明：如果将边AB和AD删除，就相当于两等腰直角三角形绕点B旋转任意角度。
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