2017年甘肃省天水中考填空压轴(抛物线的相关性质)

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(2017·天水)如图是抛物线y₁＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y₂＝mx＋n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：

①abc＞0；②方程ax²＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y₂＞y₁；⑤x（ax＋b）≤a＋b，其中正确的结论是　  ．（只填写序号）

【答案】②⑤

【图文解析】

图象到手，首先应该对a，b，c的符号进行判断：a＞0，b＜0，c＞0．

进一步读题，顶点坐标A（1，3），与x轴交于一点B（4，0），可知对称轴为直线x=-b/(2a)=1，Δ＝b²－4ac＞0．

①已知abc＜0，故①错；

②当x＝1时，y₁＝ax²＋bx＋c＝3，此点为抛物线顶点，故方程ax²＋bx＋c＝3应有两个相等实数根，x₁＝x₂＝1，故②正确；

③由对称性，抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为B（4，0），那另一个交点的横坐标应为－2，即另一个交点的坐标为（－2，0），故③错；

④如图，当1＜x＜4时，抛物线的曲线段AB都线段AB的上方，因此y₁＞y₂，故④错；

⑤当x＝1时，y₁＝a＋b＋c，当x≠1时，y₁＝ax²＋bx＋c，因为开口向下，所以当x＝1时，y₁有最大值，所以ax²＋bx＋c≤a＋b＋c，即x（ax＋b）≤a＋b，故⑤正确；

综上，正确的结论有②⑤．

【反思】

如何读图，用图是解决此类问题的门路，对于多参数情况，往往需要利用特殊点的代入，对称轴得到a，b间的关系等进行换元消参整理，另也应注意函数、方程、不等式三者之间的变换，利用图象交点、对称性等得出结论．

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【练习】

1．（2017·阿坝州）如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（−1，0），其部分图象如图所示，下列结论：

①4ac＜b²；②方程ax²＋bx＋c＝0的两个根是x₁＝−1，x₂＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是−1⩽x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．

其中结论正确的是          ．

2．（2016·恩施）抛物线y₁＝ax²＋bx＋c与直线y₂＝mx＋n的图象如图所示，下列判断中：

①abc＜0；②a＋b＋c＞0；③5a−c＝0；④当x＜12或x＞6时，y₁＞y₂，其中正确的结论是          ．

3．（2014·泰安）二次函数y＝ax²＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：

下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③x＝3是方程ax²＋(b－1)x＋c＝0的一个根；④当－1＜x＜3时，ax²＋(b－1)x＋c＞0．

其中结论正确的是          ．

（本练习不提供答案，完成之后可以百度一下答案，朋友们可以留言给出，大家互相讨论）

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