【适合八九年级】常考的几何动态题——三角形与四边形(15)(正方形与等边三角形)

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【说明】本系列的试题难度不大，但综合性均较强，尤其是在训练读图、画图、识图、作图及变式方面有一定的帮助作用，同时本系列试题多数适合于中考中的中档题，阅读时务必要体会“动中有静”的动态变化思想.

【试题】已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，动点P在边BC上运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交边AB于点N，连接OP，ON．

(1)求证：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；

(2)设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．

【图文解析】

(1)根据正方形的性质及关键条件“CN⊥DP“有了下列常用思路（之前多篇文章中已多次说明，需熟练掌握哦！）：

      通过AAS或ASA全等，不难得到BN＝CP.进一步地，又可以得到：

      再通过SAS证明△BON≌△COP，得到OP＝ON，∠BON＝∠COP，所以∠BON+∠BOP＝∠COP+∠BOP，即∠PON＝∠BOC＝90⁰（根据正方形的对角线互相垂直），因此OP⊥ON.

（2）不规则图形面积，应化为规则图形面积.如下图示：

      由(1)知:△BON≌△COP，得S_△OBN＝S_△COP，得S_{四边形OPBN}=S_△BON+S_△BOP＝S_△COP+S_△BOP＝S_△BOC＝0.25×S_{正方形ABCD}＝0.25×4²＝4.即y=4(定值，与x无关，此时P在边BC上).

      也可用下列方法来求解，虽麻烦，但却也是最常用的解题思路：因BD平分∠ABC（正方形对角线平分一组对角），自然会联想到角平分线的性质，可添加下列辅助线：

      根据HL可得到△NOE≌△POF，因此S_△NOE＝S_△POF.从而：

【点评】本题考查了正方形和全等三角形的性质和判定，第2小题求面积时，注意体会面积的常用方法和解题思路.

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【拓展与变式】已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，动点P在边BC的延长线上运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交边AB的延长线于点N，连接OP，ON．

(1)求证：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；

(2)设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．

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