一元二次方程的根与新定义、抛物线、反比例相关的问题——《顶尖中考数学微专题》部分试题解析(3)
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说明:经福建人民出版社同意,将陆续发布《顶尖中考微专题》的部分试题解析,弥补因版面限制而带来的不足,也希望能给读者朋友在学习和使用中所遇到的一些困惑提供帮助.若需要购买这本书的朋友可打开“《顶尖中考数学微专题》”(直接点击打开)阅读购买方法和购买链接,若需要视频详细解析的朋友可打开“《顶尖中考数学微专题》例、习题视频讲解(共1487分钟)—与书配套视频”(直接点击打开),可参考视频中的解答.
【试题】(P.8压轴突破5)
(2017·荆州)规定:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根是另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.现有下列结论:
①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程;
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程,则a=±3;
③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0(a≠0)是倍根方程,则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是(2,0)和(4,0);
④若点(m,n)在反比例函数y=4/x的图象上,则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程.上述结论中正确的有 .
【解析】各个选项逐个分析如下:
①方程x2+2x﹣8=0是倍根方程;
【解析】不难求得方程x2+2x﹣8=0的两根为-4和2,显然不符合倍根的条件,因此这个结论是错误的.
②若关于x的方程x2+ax+2=0是倍根方程,则a=±3;
【解析】依题意,设两根分别为m、2m.
法一:两根分别代入,得:
(接下来的解法过程,大家可以阅读书中的解答过程),得到a=±3,因此这个结论是正确的.
法二:用“根与系数的关系“来解,
③若关于x的方程ax2﹣6ax+c=0(a≠0)是倍根方程,则抛物线y=ax2﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是(2,0)和(4,0);
【解析】由“原方程是倍根方程“可设两根为m、2m,则对应的抛物线与x轴的两交点坐标为(m,0)和(2m,0),则可得到该抛物线的对称轴为直线x=(m+2m)/2=1.5m,另一方面由抛物线的解析式y=ax2﹣6ax+c可得到抛物线的对称轴为直线x=3,综合上述,可得1.5m=3,解得m=2,所以抛物线与x轴交点为(2,0)和(4,0),因此这个结论也是正确的.
④若点(m,n)在反比例函数y=4/x的图象上,则关于x的方程mx2+5x+n=0是倍根方程.
【解析】依题意可得n=4/m,代入原方程,得mx2+5x+4/m=0,有:
(mx2+x)+(4x+4/m)=0,
即mx(x+1/m)+4(x+1/m)=0
得到(x+1/m) (mx+4)=0
因m≠0,所以有
x1=-1/m,x2=-4/m
得到x2=4x1≠2x1
所以原方程不是倍根方程.
因此这个结论是错误的.
(说明:解关于x的方程mx2+5x+4/m=0绕开了“十字相乘法“(因课本内容为选学),当用此法快!)
综上所述,正确的结论是②和③
【反思】新定义题的解题关键是理解好定义,结合相关结论进行求解,当然本题的解决需要一定的计算能力和胆识,这就要求同学们平时要熟练掌握常用的典型的有关数、式、方程(组)的相关计算.
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