七下尖子生培优系列 ——相交线平行线(10)

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【试题】如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D.

（1）求∠CBD的度数．

（2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律．

（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．

【解析】

（1）由AM∥BN，根据“平行线的性质”可求得∠ABN＝180⁰－∠A＝120⁰，再由BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，根据角平分线的定义，可得到∠CBP＝0.5∠ABP，∠PBD＝0.5∠PBN，得到∠CBD＝0.5(∠ABP+∠PBN)=0.5∠ABN＝60⁰.如下图示：

详细解答过程如下：

【解】∵AM∥BN，

∴∠ABN+∠A=180°，

∴∠ABN=180°﹣60°=120°，

∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，

∴∠CBP =0.5∠ABP，

　∠DBP =0.5∠PBN，

∴∠CBP+∠DBP=0.5(∠ABP+∠PBN)

　　　　　　 =0.5∠ABN＝60⁰.

∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°.

（2）由AM∥BN，根据“平行线的性质“可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，再由BD平分∠PBN，根据角平分线的定义可得∠PBN＝2∠DBN，所以∠APB：∠ADB＝2∠DBN：∠DBN＝2：1.如下图示：

详细解答过程如下：

【解】不变，∠APB：∠ADB=2：1．

∵AM∥BN，

∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，

∵BD平分∠PBN，

∴∠PBN=2∠DBN，

∴∠APB：∠ADB=2：1；

（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，由平行线的性质可得到∠ACB=∠∠CBN，结合已知条件可得到∠DBN=∠ABD，所以∠1＝∠2. 如下图示：

      同时由BC和BD分别平分∠ABP和∠PBN可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，如下图示：

      再由（1）得：∠ABN＝120⁰，所以∠1＝30⁰.即∠ABC＝30⁰.

详细解答过程如下：

【解】∵AM∥BN，

∴∠ACB=∠CBN，

当∠ACB=∠ABD时，

有∠CBN=∠ABD，

∴∠1+∠CBD=∠CBD+∠2

∴∠1＝∠2，

由（1）可知:

      ∠1＝∠3，∠2＝∠4.

∴∠1=1/4×∠ABN

　　＝1/4×120°＝30⁰.

即∠ABC=30°．

【点评】本题主要考查角平分线的定义与平行线的判定和性质的综合运用．

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【拓展】如图，已知AM∥BN，∠BAM=60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D.

（1）求∠CBD的度数．

（2）当点P在直线AM上运动时（P点不与A点重合），能否使∠ACB=∠ABD时，若能求∠ABC的度数，若不能说明理由.

　【提示】与原题解法类似，答案如下：（1）60⁰，（2）不能（提示：可以证明当点P与A点重合时，才符合条件，因此不可以）

【反思】注意体会拓展与原题(试题内容和解答过程)的区别与联系，再结合图形思考，展开想象，探寻动与静的规律与联系.

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