七下尖子生培优系列 ——相交线平行线(14)
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【试题】如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
【解析】
（1）如图示，
利用邻补角的定义，可得到∠1+∠3＝1800，再由已知∠1与∠2互补，可得到∠2＝∠3，从而AB∥CD.具体过程如下：
解：∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°．
又∵∠1+∠3＝1800，
∴∠2＝∠3，
∴AB∥CD；
（当然也可通过对顶角相等，结合已知条件得到同旁内角互补，得到AB∥CD）.
（2）过P点作PK∥CD，如下图示：
又因AB∥CD（上小题已证），可得到∠BEF+∠EFD＝1800，同时有AB∥PK∥CD，得到∠3＝∠4，∠5＝∠6，进一步得到∠4+∠5＝∠3+∠6.
另一方面，由“∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P”，根据角平分线的性质可得∠3＝0.5∠BEF，∠6＝0.5∠EFD，所以∠3+∠6＝0.5(∠BEF+∠EFD)＝900，即∠EPF＝900.如下图示：
又因GH⊥EG，得到∠EGH＝900，所以∠EPF＝∠EGH，因此PF∥GH.
具体过程如下：
解：过P点作PK∥CD，如下图示：
由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠3+∠6=0.5（∠BEF+∠EFD）=90°，
又AB∥CD，PK∥CD
∴AB∥PK∥CD
∴∠3＝∠4，∠5＝∠6
∴∠4+∠5＝∠3+∠6＝900
即∠EPF=90°，
又GH⊥EG，
∴∠EGH＝900
∴∠EPF=∠EGH
∴PF∥GH.
（3）试题：如图3，在(2)的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
如下图示：
由(2)知PF∥GH，得∠FPH＝∠PHK，又已知∠PHK=∠HPK，所以∠FPH =∠HPK，所以∠HPK＝0.5∠FPK.
另一方面，由于PQ平分∠EPK（已知），所以∠QPK＝0.5∠EPK，所以∠HPQ＝∠QPK－∠HPK＝0.5(∠EPK－∠FPK)＝0.5∠EPF＝450，所以∠HPQ的大小不发生变化，其值为450.
详细过程如下：
（在书写过程时，角的表示最好用阿拉伯数字来表示，既快又好阅读，但因本题的角太小，电脑标注十分困难）
解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：
如图3，由(2)知PF∥GH
∴∠FPH＝∠PHK，
∵∠PHK=∠HPK
∴∠FPH =∠HPK，
∴∠HPK＝0.5∠FPK.
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK=0.5∠EPK
∴∠HPQ＝∠QPK－∠HPK
＝0.5(∠EPK－∠FPK)
＝0.5∠EPF
又∵∠EPF＝900（前已证）
∴∠HPQ＝450，
∴∠HPQ的值不发生变化，均为45°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质及角平分线性质的应用．解题过程中，务必注意要结合图形思考.
【拓展】如图，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，过G点作GH⊥EG交MN于H点，连接PH，K是GH延长线上的一点，且∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK交AB于Q，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
【提示】∠HPQ的大小保持不变，均为1350.解法也上述类似.
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