含参一次函数与二次方程、乘法公式及几何相关问题——《顶尖中考数学微专题》部分试题解析(7)
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说明：经福建人民出版社同意，将陆续发布《顶尖中考微专题》的部分试题解析，弥补因版面限制而带来的不足，也希望能给读者朋友在学习和使用中所遇到的一些困惑提供帮助.若需要购买这本书的朋友可打开“《顶尖中考数学微专题》”(直接点击打开)阅读购买方法和购买链接，若需要视频详细解析的朋友可打开“《顶尖中考数学微专题》例、习题视频讲解(共1487分钟)—与书配套视频”(直接点击打开)，可参考视频中的解答.
【试题】(P.16的压轴挑战3)
已知点A(m，n)，B(p，q)(m＜p)在直线y＝kx＋b上．
(1)若m＋p＝2，n＋q＝2b2＋6b＋4．试比较n和q的大小，并说明理由；
(2)若k＜0，过点A与x轴平行的直线和过点B与y轴平行的直线交于点C(1，1)，AB＝5，且△ABC的周长为12，求k、b的值．
【解析】
将A、B两点的坐标代入直线解析式中，可得到：
(1)由①+②，得：
n+q=(km+b)+(kp+b)
=k(m+P)+2b＝2k+2b
又n＋q＝2b2＋6b＋4
所以有2k+2b＝2b2＋6b＋4
得到：k=2b2＋4b＋4
=2(b+1)2+2≥2>0
再由①－②，得：
n－q＝k(m-p)
又因为m＜p，m－p<0，而k>0.
所以n－q＝k(m-p)＜0，因此n＜q.
【反思】求差法是比较两数大小的常用方法，根据本题的条件特点，宜用此法.在化简过程中，出现的相关字母式子k和m-p，又可以通过已知条件进行转化.
(2)试题：若k＜0，过点A与x轴平行的直线和过点B与y轴平行的直线交于点C(1，1)，AB＝5，且△ABC的周长为12，求k、b的值．
【解析】：本题无图，而试题描述中又与图形密切相关，借助图形才能较好理解并解决问题，因此想方设法画出符合条件的草图是解题的关键。
由点C的构成（过点A与x轴平行的直线和过点B与y轴平行的直线交于点C(1，1)），可以得到A的纵坐标为1，B点的横坐标为1，因已知A(m，n)，B(p，q)(m＜p)，可得A(m,1)、B(1,q)，同时m<1.因此A点在C点的左边，
另一方面由于A和B点均在直线y=kx+b上，且k<0，所以y随x的增大而减小，因m<p=1，所以q<1,从而B点在C点的下方，
结合上述，可画出符合条件的草图如下：
所以AC＝1－m(设为s)，BC＝1－q(设为t)，则AB2＝s2+t2＝25…①，
又因为△ABC的周长为12，则有s+t+5=12，即s+t=7…②.联立①②可解得s和t的值，进一步可得到m和q的值，得到A、B两点的坐标，再代入直线y=kx+b的解析，得到k、b的值.（解法与书中解答略有不同）
法一：（代入法），由②得s=7-t，再代入①，整理后得到一元二次方程，….
法二：（完全平方公式法），②式平方减去①，得到2st=24，得到st=12，再用代入法或韦达定理，可以将s、t看作是一元二次方程x2－7x+12=0的两根，…….
本题的最终答案为：k=-4/3，b=-5/3或k=-3/4，b=-5/4.
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