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八下尖子生培优系列 ——二次根式(14)

永泰一中 张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16


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【解析】根据a、b、c为正实数,且a+b+c=1,可以得到0<a<1、0<b<1、0<c<1,同时因为正的真分数的平方小于它本身,因此有a2<a,b2<b,c2<c.

【点评】本题考查二次根式的应用,解题的关键是找出所求问题需要的条件,通过“放缩”(需要注意不等号的应用)将所求的问题向已知条件逐步转化.

x2+y2+z2=3(a+b+c)+3=6.

又(x+y+z)2= x2+y2+z2+2(xy+yz

+zx)=6+2(xy+yz+zx).

 又由(x-y)2≥0得2xy≤x2+y2,

 同理有:2yz≤y2+z2, 2zx≤z2+x2,

得:2(xy+yz+zx)≤2(x2+y2+z2)=12.

所以(x+y+z)2= x2+y2+z2+2(xy+yz

+zx)=6+12=18.

  又由于x、y、z为正实数,

  所以x+y+z≤√18=3√2.

(当x=y=z即a=b=c=1/3时,等式成立).

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