八下尖子生培优系列 ——勾股定理(4)

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【例题】在△ABC中，已知AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，且BD=7/2，连接AD，求证：AD⊥AC．

【解析】结合已知条件与所证结论不难理解，需构造直角三角形，通过勾股定理建立已知的边与角（垂直）的联系。又由于△ABC为等腰三角形，所以过点A作AE⊥BC于E，如下图示：

由等腰三角形的性质得出BE=1/2BC=8，由勾股定理得AE=6，AD²=AE²+DE²=225/4，

又因DC²=（BC﹣BD）²=625/4，

AC²=100，得出AC²+AD²=DC²，根据勾股定理的逆定理可得：△DAC为直角三角形即可．具体过程如下：

【证明】过点A作AE⊥BC于E，如图所示：

∵AB=AC=10，BC=16，

∴BE=0.5BC=8，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：

在△ADC中，

      DC²=（BC﹣BD）²=625/4，

      AC²=100，

∴AC²+AD²=DC²，

∴△DAC为直角三角形，

∴DA⊥AC．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相关定理，并构造直角三角形是解题的关键，本题虽基础，但却提供了一道典型的通过勾股定理（或逆定理）进行“边角”转换的范例。

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【拓展与变式】在△ABC中，已知AB=AC=10，BC=16，点D在边BC所在的直线上的一个动点，连接AD，设BD＝x，当x为何值时，△ACD是直角三角形？若△ACD为等腰三角形呢？

【解法提示】

(1)当△ACD为直角三角形时，x＝8或3.5；

(2)当△ACD为等腰三角形时，如下图示：

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