八下尖子生培优系列 ——勾股定理(5)

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【例题】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=√2，BE=2√2．

（1）求CD的长：

（2）求四边形ABCD的面积．

【分析】（1）由于在△CDE中，已知三个元素，两角一边，可构造直角三角形解决（常法通法），在不影响已知条件的前提下，显然过点D作DH⊥AC于H，方法最简单。如下图示：

      根据∠CED=45°可得出△DEH是等腰直角三角形，由勾股定理可得出EH=DH=1，再根据直角三角形的性质得DC＝2，如下图示：

(2)在(1)的基础上，在Rt△DHC中，根据勾股定理求出HC＝√3；类似(1)同样可求得AB=AE=2，故可得出AC的长为3+√3，最后根据S_{四边形ABCD}=S_△BAC+S_△DAC即可得出结论．如下图示：

具体过程如下：

【解】

(1)过点D作DH⊥AC，

∵∠CED=45°，∴∠EDH=45°，

∴∠HED=∠EDH，∴EH=DH，

∵EH²+DH²=DE²，DE=√2，

∴EH²=1，∴EH=DH=1，

又∵∠DCE=30°，∠DHC=90°，

∴DC=2；

(2) 如下图示：

∵Rt△DHC中，DH²+HC²=DC²，

∴1²+HC²=2²，∴HC=√3，

∵∠AEB=∠CED=45°，∠BAC=90°，BE=2√3，∴AB=AE=2，

∴AC=2+1+√3=3+√3，

∴S_{四边形ABCD}=S_△BAC+S_△DAC

=0.5×(3+√3)×2+0.5×(3+√3)×1

=(3√3+9)/2.

【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意构造出直角三角形，是解答此题的关键．

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【拓展】如图，在折线四边形ABCD中， AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=135°，∠DCE=30°，DE=2√2，BE=√2．求AC的长．

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