八下尖子生培优系列 ——勾股定理(7)

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【例题】如图，D为AB上一点，△ACE≌△BCD，AD²+DB²=DE²，试判断△ABC的形状，并说明理由．

【分析】由△ACE≌△BCD，根据全等三角形的性质得出AC=BC，∠EAC=∠B，AE=BD，如下图示：

又AD²+DB²=DE²，得到AD²+AE²=DE²，根据勾股定理的逆定理得出∠EAD=90°，从而∠B＋∠BAC＝∠EAC+∠BAC＝∠EAD＝90⁰，进一步得到∠ACB=90°，因此△ABC为等腰直角三角形．如下图示：

 具体过程如下：

【解】△ABC是等腰直角三角形，

理由如下：

∵△ACE≌△BCD，

∴AC=BC，∠EAC=∠B，AE=BD，

∵AD²+DB²=DE²，

∴AD²+AE²=DE²，

∴∠EAD=90°，

∴∠EAC+∠DAC=90°，

∴∠DAC+∠B=90°，

∴∠ACB=180°﹣90°=90°，

∵AC=BC，

∴△ABC是等腰直角三角形．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和勾股定理的逆定理的应用，能正确相关性质进行推理是解题的关键．

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【拓展1】如图，D为AB上一点，△ACE≌△BCD，AD²+DB²=DE²，试判断△ABC的形状，并说明理由．

【提示】解法与原题类似

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【拓展2】如图，D为AB上一点，△ACE≌△BCD，AD²+DB²=DE²，试判断△ABC的形状，并说明理由．

【提示】解法与原题类似

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