八下尖子生培优系列 ——勾股定理(8)

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【例题】如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，AF⊥BC于点F．

（1）若∠BAC=90°，求AE的长；

（2）若DF=0.7，求证：△ABC为直角三角形．

【分析】（1）由DE是BC的垂直平分线，可考虑连接CE，可利用垂直平分线的性质，设AE=x，则BE=CE=x，如下图：

      由于∠BAC＝90⁰，则在Rt△ACE中，利用勾股定理可得：（如下图示）

x²+3²=（4﹣x）²，

解得x=7/8，即AE=7/8．

具体过程如下：

解：连接CE，设AE=x，

∵AB=4，∴BE=4﹣x，

∵DE是BC的垂直平分线，

∴CE=BE=4﹣x，

∵∠BAC=90°，AC=3，

∴x²+3²=（4﹣x）²，

∴x=7/8，即AE=7/8．

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（2）由于AB和AC均为已知，因此要证△ABC为直角三角形，则可通过计算出BC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形。

      由于DE垂直平分BC，因此可得到BD＝CD，又DF＝0.7与BD、CD均有联系，因此可设BD= CD=y，从而得到BF＝y+0.7，CF＝y－0.7，如下图示：

      分别在Rt△ABF和Rt△ACF中，由勾股定理，得：AB²﹣BF²=AC²﹣CF²=AF²，即4²﹣（y+0.7）²=3²﹣（y﹣0.7）²，解得y=2.5，所以BC＝5，又因AC²+AB²＝…＝25，BC²＝25，因此△ABC为直角三角形.

      具体过程如下：
（2）证明：如下图示：

设BD＝CD=y，则BC＝2y‘

BF=y+0.7，CF=y﹣0.7，

∵AF⊥BC，

∴AB²﹣BF²=AC²﹣CF²=AF²，

∴4²﹣(y+0.7)²=3²﹣(y﹣0.7)²，

∴y=2.5，∴BC=5，

∵3²+4²=5²，

∴△ABC为直角三角形．

【点评】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的知识，结合线段垂直平分线的性质．

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【拓展】如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，AF⊥BC于点F．

（1）若AE＝7/8，求证△ABC为直角三角形；

（2）若△ABC为直角三角形，求DF的长.

【提示】（1）证法与例题类似；（2）DF＝0.7.

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