八下尖子生培优系列 ——平行四边形(1)

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【例题】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F分别为AO、OC的中点，求证：四边形BFDE是平行四边形．

【分析】利用“平行四边形的性质”可得OA=OC，OB=OD；由已知条件“点E、F分别为AO、OC的中点”可以证得OE＝0.5OA，OF＝0.5OC，从而OE＝OF；最后根据平行四边形的判定定理“对角线相互平分的四边形为平行四边形”即可证得结论．

【解】∵四边形ABCD是平行四边形，

　　 　∴OA=OC，OB=OD．

     又∵点E、F分别为AO、OC的中点，

      ∴OE＝0.5OA，OF＝0.5OC，

 　∴OE=OF．

 　∴四边形BFDE是平行四边形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，其中判定方法共有五种(关于“边”的有三种，关于“角”与“对角线”各有一种，运用时要根据条件合理、灵活地选择方法，并认真领会它们之间的联系与区别.

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【拓展1】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F在对角线AC上，且AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．

【提示】解法与原题类似

【拓展2】如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知点E、F在对角线AC所在的直线上，且AE＝CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．

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