中考系统复习(分知识点)例题解析系列(8)——一元二次方程

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【能力要求】

1．解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法或配方法．务必注意：应用求根公式时应先将方程化为一般形式；方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．

如在x²=x中，不能随便约去x．

2．判别含字母系数的一元二次方程的根的情况：①把方程化为一般形式，写出根的判别式；②确定判别式的符号，同时要注意a≠0；③根据判别式的符号，得出结论.

3．运用根与系数的关系时，要注意公式成立的隐含条件：△≥0且a≠0．

4．通过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键．同时在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．

【精典例题解析】

例1.已知2是关于x的方程x²﹣2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为( )

A.10            B.14

C.10或14     D.8或10

分析：先将x=2代入x²﹣2mx+3m=0，求出m=4，则方程即为x²﹣8x+12=0，解得x₁=2，x₂=6，下列分两种情况：

　①当6是腰时，2是等边；

　②当6是底边时，2是腰进行讨论．

　　注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．

解：依题意，得：

           2²﹣4m+3m=0，解得m=4，

       ∴x²﹣8x+12=0，解得x₁=2，x₂=6．

      ①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14；

       ②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．所以它的周长是14．

       故选B．

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例2　已知关于x的方程x²+2x+a﹣2=0．

(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；

(2)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．

分析：(1)由题意，知：△=b²﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围；

(2)设方程的另一根为x₁，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．

解：(1)∵b²﹣4ac=2²﹣4×1×(a﹣2)=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值为a＜3；

(2)法一：设方程的另一根为x₁，由根与系数的关系得：

则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．

法二：将x=1代入原方程，求出a的值，进一步得到原方程的另一个根.

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