八下尖子生培优系列 ——平行四边形(2)

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【例题】如图，等边△ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以2cm/s的速度运动．

(1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？

(2)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．

【分析】(1)观察动态演示：

      若设经过t秒钟两点第一次相遇，则根据点M运动的路程+点N运动的路程=AB+CA列方程求解即可；

(2)观察动态演示：

      根据题意画出图形，可分为下列几种情况：

      如下图示，当0≤t≤8/3(相遇前)时，MC+BN=AN+BN=8；

此时有3t+2t=8，

解得：t=8/5.

      如下图示，当8/3＜t≤4(相遇后)时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；

      如下图示，当4＜t≤16/3(相遇后)时，MB+NC=AN+CN=8；

此时有3t－8=16－2t，

解得：t=24/5

      如下图示，当16/3＜t≤8(相遇后)时，△BNM为等边三角形，由BN=BM可求得t的值.

      此时16-2t=24-3t，解得t=8，相应地M、N、B三点重合，显然不符合题意．

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     具体解答过程如下：

【解】(1)依题意得：3t+2t=16，

                 解得：t=16/5；

(2)①当0≤t≤8/3时，点M、N、D的位置如下图示，

∵四边形ANDM为平行四边形，

∴DM=AN，DM∥AN．

∴∠MDC=∠ABC=60°

∵△ABC为等腰三角形，

∴∠C=60°．∴∠MDC=∠C．

∴MD=MC

∴MC+BN=AN+BN=8，

　　即：3t+2t=8，t=8/5，

此时点D在BC上，且BD=24/5(或CD=16/5)，

②当8/3＜t≤4时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；

③4＜t≤16/3时，点M、N、D的位置如图所示：

∵四边形ANDM为平行四边形，

∴DN=AM，AM∥DN．

∴∠MDB=∠ACB=60°

∵△ABC为等腰三角形，

∴∠B=60°．∴∠MDB=∠B．

∴MD=MB．

∴MB+NC=AN+CN=8

即3t﹣8＝16－2t，解得：t=24/5，

此时点D在BC上，且BD=32/5(或CD=8/5)，

④当16/3＜t≤8时，点M、N、D的位置如图示：

则BN=16﹣2t，BM=24﹣3t，

由题意可知：△BNM为等边三角形，

∴BN=BM，即：2t﹣8=3t﹣16，解得t=8，此时M、N重合，不能构成平行四边形．

      综上所述，运动了8/5或24/5时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，此时点D在BC上，且BD=24/5或32/5．

【点评】本题主要考查的是平行四边形和等边三角形的性质的运用，画出符合题意的图形是解题的关键．

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