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八下尖子生培优系列 ——平行四边形(2)

永泰一中 张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16


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【例题】如图,等边△ABC的边长为8,动点M从点B出发,沿B→A→C→B的方向以3cm/s的速度运动,动点N从点C出发,沿C→A→B→C方向以2cm/s的速度运动.

(1)若动点M、N同时出发,经过几秒钟两点第一次相遇?

(2)若动点M、N同时出发,且其中一点到达终点时,另一点即停止运动.那么运动到第几秒钟时,点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形?求出时间t并请指出此时点D的具体位置.

【分析】(1)观察动态演示:


      若设经过t秒钟两点第一次相遇,则根据点M运动的路程+点N运动的路程=AB+CA列方程求解即可;

(2)观察动态演示:

      根据题意画出图形,可分为下列几种情况:

      如下图示,当0≤t≤8/3(相遇前)时,MC+BN=AN+BN=8;

此时有3t+2t=8,

解得:t=8/5.

      如下图示,当8/3<t≤4(相遇后)时,此时A、M、N三点在同一直线上,不能构成平行四边形;

      如下图示,当4<t≤16/3(相遇后)时,MB+NC=AN+CN=8;

此时有3t-8=16-2t,

解得:t=24/5

      如下图示,当16/3<t≤8(相遇后)时,△BNM为等边三角形,由BN=BM可求得t的值.

      此时16-2t=24-3t,解得t=8,相应地M、N、B三点重合,显然不符合题意.





     具体解答过程如下:

【解】(1)依题意得:3t+2t=16,

                 解得:t=16/5;

(2)①当0≤t≤8/3时,点M、N、D的位置如下图示,

∵四边形ANDM为平行四边形,

∴DM=AN,DM∥AN.

∴∠MDC=∠ABC=60°

∵△ABC为等腰三角形,

∴∠C=60°.∴∠MDC=∠C.

∴MD=MC

∴MC+BN=AN+BN=8,

  即:3t+2t=8,t=8/5,

此时点D在BC上,且BD=24/5(或CD=16/5),

②当8/3<t≤4时,此时A、M、N三点在同一直线上,不能构成平行四边形;

③4<t≤16/3时,点M、N、D的位置如图所示:

∵四边形ANDM为平行四边形,

∴DN=AM,AM∥DN.

∴∠MDB=∠ACB=60°

∵△ABC为等腰三角形,

∴∠B=60°.∴∠MDB=∠B.

∴MD=MB.

∴MB+NC=AN+CN=8

即3t﹣8=16-2t,解得:t=24/5,

此时点D在BC上,且BD=32/5(或CD=8/5),

④当16/3<t≤8时,点M、N、D的位置如图示:

则BN=16﹣2t,BM=24﹣3t,

由题意可知:△BNM为等边三角形,

∴BN=BM,即:2t﹣8=3t﹣16,解得t=8,此时M、N重合,不能构成平行四边形.

      综上所述,运动了8/5或24/5时,A、M、N、D四点能够成平行四边形,此时点D在BC上,且BD=24/5或32/5.

【点评】本题主要考查的是平行四边形和等边三角形的性质的运用,画出符合题意的图形是解题的关键.



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