八下尖子生培优系列 ——平行四边形(3)

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【试题】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且AP+AE=CP+CF．

(1)求证：PA=PC．

(2)若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD的面积．

【分析】想方设法将条件“AP+AE=CP+CF”转化为两线段相等（这是常法、通法），为此：可在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF，连接ME、NF、EN、FM，可得PN=PM，如下图示：

根据“对角线互相平分的四边形是平四边形”可证得：四边形EMFN是平行四边形，则可得ME=FN，∠EMA=∠CNF，进一步地可证得△EAM≌△FCN，得到AM＝CN，所以AE＝CF，又AP+AE=CP+CF，因此PA=PC；如下图示：

(2)由PA=PC，EP=PF，可证得四边形AFCE为平行四边形，进一步可证△PAD≌△PCB，得PD＝PB，又因PA＝PC，所以四边形ABCD为平行四边形（方法多种，只提供其中一种），如下图示，

      由AB=15，AD=12，∠DAB=60°，再利用平行四边形的面积公式，不难求得四边形ABCD的面积，如下图示：

      在Rt△ADG中，由勾股定理可求得DG＝6√3，因此（平行）四边形ABCD的面积为15×6√3＝90√3．

具体过程如下：

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(1)证明：如下图示：

在PA和PC的延长线上分别取点M、N，使AM=AE，CN=CF．

∵AP+AE=CP+CF，∴PN=PM．

∵PE=PF，∴EMFN是平行四边形．

∴ME=FN，∠EMA=∠CNF．

又∵∠AME=∠AEM，∠CNF=∠CFN，

在△AME和△CNF中，

∴△EAM≌△FCN，∴AM=CN．

∵PM=PN，∴PA=PC．

 (2)解：如下图示，

∵PA=PC，EP=PF，

∴AFCE为平行四边形．

∴AE∥CF．

∴∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，

在△APD和△CPB中，

∴△PAD≌△PCB．∴DP=PB．

又由(1)知PA=PC，

∴四边形ABCD为平行四边形．

∵AB=15，AD=12，∠DAB=60°，

……（省略），得到DG＝6√3.

      因此（平行）四边形ABCD的面积为15×6√3＝90√3．

【点评】此题考查了全等三角形、平行四边形的判定与性质，图形虽然复杂，但难度适中，解题的关键是想方设法将条件“AP+AE=CP+CF”转化为通常的两线段相等(常法、通法)．

【练习】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P，过点P作直线交AD于点E，交BC于点F．若PE=PF，且PA=PC．

(1)求证：AE=CF．

(2)若AD=12，AB=15，∠DAB=60°，求四边形ABCD的面积．

【提示】(1)与原题类似,(2) 90√3.

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