八下尖子生培优系列 ——平行四边形(4)
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【试题】求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．
【分析】这是一个”文字题”的证明题，必须有四个步骤：画图、已知、求证、证明.
先根据题意画出图形，写出已知、求证.
已知，如图：在平行四边形ABCD中，AC，BD是其两条对角线， 求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2.
要证的是线段平方间的等量关系，根据目前所学的内容，只要勾股定理，才有这样类似的结论，因此必须添加“垂线”得到“直角三角形”，为此：可作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，如下图示：
根据平行四边形的性质，可说证得：△ABE≌△DCF，得出AE=DF，BE=CF，同时有：AB＝CD，AD＝BC.
然后在Rt△ABE和Rt△DCF中，根据勾股定理可得：
AC2=AE2+EC2=AE2+(BC﹣BE)2，
BD2=DF2+BF2=DF2+(BC+CF)2
=AE2+(BC+BE)2
从而得到：
AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2
＝2(AE2+BE2)+2BC2．
又因AE2+BE2=AB2，
因此AC2+BD2=2(AB2+BC2)
进一步地根据平行四边形的性质即可得到所要证的结论.
具体过程如下：
【解】已知，如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD是其两条对角线，求证：AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2.
证明：作AE⊥BC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于F，如图示.
则∠AEB=∠DFC=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∴△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，BE=CF．
在Rt△ACE和Rt△BDF中，由勾股定理，得：
AC2=AE2+EC2=AE2+(BC﹣BE)2，
BD2=DF2+BF2=DF2+(BC+CF)2
=AE2+(BC+BE)2，
∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2
=2(AE2+BE2)+2BC2．
又∵AE2+BE2=AB2，
即AC2+BD2=2(AB2+BC2)．
∵AB=CD，AD=BC，
∴AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+AD2
【点评】这是一个文字命题的证明题，先根据题意画出图形，写出已知、求证、证明过程．此题主要考查学生对勾股定理，平行四边形的性质的理解和掌握．解题的关键构造直角三角形.
【法二】当然也可用下面的方法来解
（注意体会用设元法给证明带来的方便）
过D点作DF∥AC交BC的延长线于F，再过D点作DM⊥BF于M，
=2(m2+n2)+2b2=2a2+2b2.
……，
【拓展1】若平行四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝16，且AC与BD相交得到一个锐角为300，求平行四边形的面积.
【拓展2】若四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝16，且AC与BD相交得到一个锐角为300，求平行四边形的面积.
【答案】两题答案均为32.
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