八下尖子生培优系列 ——平行四边形(5)

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【例题】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(﹣3，0)，(0，6)，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造平行四边形PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE=AO．

(1)当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形；

(2)当点P运动的时间为1.5秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？

【图文解析】

（先观看动态演示）

(1)要证四边形ADEC是平行四边形，根据试题已知条件可发现，显然与对角线有关，因此可连接CD交AE于F，如下图示，由PCOD是平行四边形可知 CF=DF， OF=PF，又由于PE＝AO（已知），可得到AF=EF，根据平行四边形的判定定理即可得到证明；

详细解答过程如下：

证明：连接CD交AE于F，

∵四边形PCOD是平行四边形，

∴CF=DF，OF=PF，

∵PE=AO，∴AF=EF，

又CF=DF，

∴四边形ADEC为平行四边形；

(2)分析：当运动时间为1.5秒时，可得OP＝1.5，BC＝2×1.5＝3，从而而OC＝OB－BC＝6-3＝3，而由A（-3，0）可得OA＝3，再根据勾股定理可求出AC、CE的长，最后利用平行四边形的周长公式即可四边形ADEC的周长．如下图示：

解：当点P运动的时间为3/2秒时，OP=3/2，OC=3，则OE=9/2，

由勾股定理得，

【点评】本题考查的是平行四边形的性质和判定、勾股定理的应用，注意坐标特征与图形的关系的应用．

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【拓展】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(﹣3，0)，(0，6)，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造平行四边形PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE=AO．

（1）当四边形ADEC的周长为6√2+3√13时时，则运动时间t＝____.

（2）当t为何值时，△ODE是等腰三角形？

（3）若坐标平面内还有一点R，则以A、C、P、R四点为顶点的四边形是矩形，求t的值.

（本拓展题不给答案，可以到魔方群（530471110）中互相交流、讨论.）

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