中考系统复习(分知识点)例题解析系列(27)——四边形(3)

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【能力要求】

因为正方形本身具有对称性(中心对称、轴对称)，同时也旋转对称图形，所以在正方形的有关题目中，利用图形变换是一种常用解题思路．

【精典例题解析】

例.在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．

(1)如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；

(2)如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，(1)中的结论还成立吗？(请你直接回答“是”或“否”，不需证明)

(3)如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，(1)中的结论还成立吗？请说明理由；

(4)如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出图形．若AD=2，试求出线段CP的最小值．

分析 ：(1)AE=DF，AE⊥DF．先证△ADE≌△DCF．再由全等三角形的性质得和“等角的余角相等”可得AE⊥DF；

(2)易得AE=DF，∠DAE=∠CDF，因为∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，所以AE⊥DF；

(3)成立．由(1)同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；

(4)由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得OC的长，再求CP即可．

解：(1)AE=DF，AE⊥DF．

理由：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．

∵DE=CF，∴△ADE≌△DCF．

∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°．∴AE⊥DF；

(2)是；证明略

(3)成立．理由如下：

       由(1)同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，

延长FD交AE于点G，如下图示：

则∠CDF+∠ADG=90°，∴∠ADG+∠DAE=90°．∴AE⊥DF.

(4)如图：

∵由于点P在运动中保持∠APD=90°，

∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，

       设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，

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