八下尖子生培优系列 ——平行四边形(6)

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【例题】已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．

【分析】首先画出符合题意的图，如下图示.

      本题已知条件中有很多“中点”（中线→中点），显然可以利用三角形中线的性质、中位线的定义和性质证得四边形EFGD的对边DE∥GF，且DE=GF=0.5BC；然后由平行四边形的判定——对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得结论．

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具体过程如下：

【证明】如图，连接ED、DG、GF、FE．

∵BD、CE是△ABC的两条中线，

∴点D、E分别是边AC、AB的中点，

∴DE∥CB，DE=0.5CB；

又∵F、G分别是OB、OC的中点，

∴GF∥CB，GF=0.5CB；

∴DE∥GF，且DE=GF，

∴四边形DEFG是平行四边形．

【点评】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定．

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【拓展1】已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．当△ABC符合什么条件时，四边形DEFG是矩形？为什么？

【提示】当AB＝AC时，四边形DEFG是矩形.

【拓展2】已知：△ABC中，中线BD、CE交于点O，求证OB＝2OD，OC＝2OE.

【提示】先补形原题的图形，再进行证明如下图示：

【拓展2】已知：△ABC中，AB＝AC，中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．连接AO并延长交BC于H点，当OA与BC满足什么条件时，四边形DEFG是正方形？

【提示】当OA＝BC时，四边形DEFG是正方形.

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