中考系统复习(分知识点)例题解析系列(28)——相似形(1)

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【能力要求】

1．在运用平行线分线段成比例定理，或给出两条线段的比而没有指明两条线段的大小，或两个三角形没有指明对应关系，注意分类讨论.

2．正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系．

3．相似比的有序性：若△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF∽△ABC的相似比为1/k．

4．常规辅助线的添法：

(1)过一点作平行线构造相似三角形；

(2)过一点作垂线构造直角三角形相似．

【精典例题解析】

例1.如图，在一张长10cm，宽6cm的矩形纸片上，剪下一个矩形，若剩下的矩形(图中阴影部分)和原来的矩形相似，那么剩下的矩形的面积是多少cm²？　

分析：已知两个矩形相似，则它们的长的比等于宽的比.因此只能是矩形ABCD的长AD对应矩形DEFC的长DC，矩形ABCD的宽CD对应矩形DEFC的宽FC.

例2.如图，在边长为1的正方形网格上有P、A、B、C四点. 

       (1)求证：△PAB∽△PCA；

       (2)求证：∠APB+∠PBA=45°.

分析　判定方法：两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似，或两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.解：(1)∵PC=1，PA=√5，PB=5，

(2)由(1)知：△PAB∽△PCA

       ∴∠B=∠PAC，且∠ACB=45°，

  ∴∠APB+∠PBA=∠APB+∠PAC

            =∠ACB=45°.

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例3.一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为(0，1)，直角顶点C的坐标为(﹣3，0)，∠B=30°，求点B的坐标．

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分析　过点B作BD⊥OD于点D，根据△ABC为直角三角形可证明△BCD∽△COA，根据相似三角形的性质即可求解．

解：过点B作BD⊥OD于点D，如图示：

       ∵△ABC为直角三角形，

       ∴∠BCD+∠ACO=90°，

       ∠DCB+∠DBC＝90°，

       ∴∠DBC＝∠ACO，

       又∵∠BDC∠AOC＝90°，

       ∴△BCD∽△COA，

       ∴BD/OC＝CD/AO＝BC/AC

　　　　　　＝tan∠CAB＝√3，

       又∵A(0，1)，B(－3，0)

       ∴BD＝√3OC＝3√3，

               CD＝√3OA＝√3.

       ∴OD=3+√3，BD=3√3

       ∴B (﹣3﹣√3，3√3)．

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