中考系统复习(分知识点)例题解析系列(32)——圆(1)

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【能力要求】

1．注意圆中一些隐含条件的作用．如：“同弧所对的圆周角相等”；“半径都相等”．

2．解决与弦有关的问题，往往需要构造垂径定理的基本图形——由半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形.

3．圆心角、弧、弦之间的关系定理提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时，要根据具体条件灵活选择应用．

4．由于直径所对的圆周角是直角，所以在圆中，有直径时，常作出直径所对的圆周角，构造直角三角形，利用解直角三角形的知识解决问题，这是圆中最常用的辅助线．

【精典例题解析】

例1　如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧AMB上一点，求∠APB．

分析　作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD=OA，易求∠OAD=30°和∠AOB=120°，然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．

解：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如下图示，

∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，∴OD=CD，∴OD=0.5OC=0.5OA，

∴∠OAD=30°，又OA=OB，∴∠CBA=30°，

∴∠AOB=120°，∴∠APB=0.5∠AOB=60°．

例2　点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，求∠BAC的度数．

分析　利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出∠BAC的度数．

解：如图所示：

       ∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，

∴∠A=40°，∠A′=140°，

故∠BAC的度数为：40°或140°．

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例3　如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，(1)求证：CB∥PD；(2)若BC=3，sin∠P=3/5，求⊙O的直径．

分析(1)要证明CB∥PD，可以求得∠1=∠P，根据弧BD＝弧BC可以确定∠C=∠P，又知∠1=∠C，即可得∠1=∠P；

(2)根据题意可知∠P=∠CAB，则sin∠CAB=

BC/AB=3/5，所以可以求得圆的直径．

解：如下图示：

(1)证明：∵∠C=∠P又∵∠1=∠C                  ∴∠1=∠P∴CB∥PD；

(2)解：连接AC.

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°

又∵CD⊥AB，∴弧BD＝弧，

∴∠P=∠CAB，∴sin∠CAB=3/5，

即BC/AB=3/5，

又知，BC=3，∴AB=5，

∴所求的直径为5．

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