中考系统复习(分知识点)例题解析系列(33)——圆(2)

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【能力要求】

1．判断直线与圆的位置关系，必须计算圆心到该直线的距离，并与圆的半径进行比较．

2．判定切线的方法：(1)若切点明确，则“连半径，证垂直”．(2)若切点不明确，则“作垂直，证半径”．常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

3．利用切线的性质时，常连接切点和圆心，构造直角三角形．

【精典例题解析】

例1　如图，一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，求CE的长．

分析　连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，求出等边三角形的高即可得出圆的直径，从而得出OC的长度，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长．

解：如下图示：

       连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，

∵△ABC为等边三角形，边长为4cm，

∴△ABC的高为2√3cm，

∴OC=√3cm，

又∵∠ACB=60°，

∴∠OCF=30°，

在Rt△OFC中，可得FC=3/2cm，即CE=2FC=3cm．

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例2.如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F．

(1)求证：AE为⊙O的切线；

(2)当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径；

(3)在(2)的条件下，求线段BG的长．

分析(1)连接OM．利用角平分线的性质和平行线的性质得到AE⊥OM后即可证得AE是⊙O的切线；

(2)设⊙O的半径为R，根据OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行线的性质得到R/4＝（12-R）/12，即可解得R=3，从而求得⊙O的半径为3；

(3)过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，根据∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四边形OMEH是矩形，从而得到HE=OM=3和BH=1，证得结论BG=2BH=2．

解：如下图示：

(1)证明：连接OM．

∵AC=AB，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC，CE=BE=BC=4．

∵OB=OM，∴∠OBM=∠OMB，

∵BM平分∠ABC，∴∠OBM=∠CBM，

∴∠OMB=∠CBM，

∴OM∥BC　又∵AE⊥BC，

∴AE⊥OM，∴AE是⊙O的切线；

(2)设⊙O的半径为R，

∵OM∥BE，∴△OMA∽△BEA，

∴OM/BE＝AO/AB，

即R/4＝（12-R）/12，

解得R=3，∴⊙O的半径为3；

(3)过点O作OH⊥BG于点H，

则BG=2BH，

∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°．

∴四边形OMEH是矩形，

∴HE=OM=3，∴BH=1，

∴BG=2BH=2．

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