反比例函数与等腰三角形相关的问题——《顶尖中考数学微专题》部分试题解析(9)

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说明：经福建人民出版社同意，将陆续发布《顶尖中考微专题》的部分试题解析，弥补因版面限制而带来的不足，也希望能给读者朋友在学习和使用中所遇到的一些困惑提供帮助.若需要购买这本书的朋友可打开“《顶尖中考数学微专题》”(直接点击打开)阅读购买方法和购买链接，若需要视频详细解析的朋友可打开“《顶尖中考数学微专题》例、习题视频讲解(共1487分钟)—与书配套视频”(直接点击打开)，可参考视频中的解答.

【试题】(P.21的压轴挑战4)如图，反比例函数y＝k/x的图像与一次函数y＝(1/4)x的图像交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线AB的上方．

⑴若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；

⑵设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；

⑶设点Q是反比例函数图像上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．

【图文解析】

⑴直接将P点坐标代入即可得k=4.

　过P、B分别作PC⊥x轴于C点，PD⊥x轴于D点，如下图示：

      由于P（1，4），B（4，1），所以有PC＝4＝OD，OC＝BD＝1，CD＝4-1＝3，同时由于OA＝OB（点A与点B关于原点成中心对称，所以：

      S_△PAB＝2S_△POB=2（S_△POC+S_梯形PCDB－S_△OBD）＝2S_梯形PCDB＝…＝15.

（2）根据题意，可画出符合条件图形：

      要证△PMN是等腰三角形，可通过证明PM＝PN（由于P是动点，可尝试不同位置，观察可能相等情况，发现MN与PM、PN不可能均相等），接下来，根据坐标系的特征应转化为“直线段”进行思考（坐标系中的常法，“斜化直”，进一步转化为点的相关问题），为此可添加如下的辅助线：

      根据“斜化直”的思想，问题又可转化为证“MH＝NH”？（根据线段垂直平分线的性质）

      由于M、H、N均在x轴上，因此可以进一步转化为点M、H、N的横坐标。若设P（m，4/m）,而A与B点关于原点成中心对称，又B（4，1），所以A（-4，－1）.设直线PA为y=kx+b，将P、A两点坐标代入，得：　

（这一步计算量较大，必须耐心并细心地将m当作已知数，通过两方程相减，然后再通过分式相关计算，可得到答案）  

      可以得到MH＝4，NH＝4.

      从而PH是MN的垂直平分线，因此PM＝PN，故△PMN是等腰三角形.

(3)如下图示：

若QA和QB分别交x轴于E、F点，则由(2)可证得：PM＝PN，QE＝QF，如下图示，显然有：

      得到∠PAQ=∠PBQ(根据三角形的外角性质).

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【反思】本题的第(2)(3)两问，显然相互联系 (因P、Q均为动点)，均有相同的结论。或Q点在双曲线上的其他位置呢？结论类似：

此时∠PAQ+∠PBQ=180⁰

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