2016年江苏徐州中考压轴题——抛物线与菱形、角及最值相关问题

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（2016•江苏徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-√3）、C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D。

(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；

(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD，则1/2PB+PD的最小值为         .

(3)M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点.

      ①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有         个；

      ②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围.

【图文解析】

（1）简析：

法一：将点A（-1，0），B（0，-√3）、C（2，0）代入抛物线的解析式y=ax²+bx+c，可得关于a、b、c的方

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小结：法一方法最直接，但得到的三元一次方程组的计算量相对比较大大；而依据题意将二次函数解析式改设为顶点式和交点式，分别是解二元一次方程组和一元一次方程，则计算简便得多。

（2）遇到1/2PB+PD常转化为通常的两线段和，进一点转化为“两点之间线段最短”或“垂线段最短”或利用“函数转化为最值问题”，根据题意，本题中的动点P是在y轴上移动，结合∠ABO=30°及Rt△中30°所对的直角边等于斜边的一半，构造一个直角三角形，将1/2PB转化为直角边即可。

解析：如图，过D作DE⊥AB，交y轴于点P，此时1/2PB+PD最小。

（3）将与本小题无关的点与线（包括抛物线删除——解难题前建议先“清理垃圾”）;

      ①以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，因点的顺序不固定，则应分类讨论；抓住菱形中的四个点只有A、B两点是固定的，以此出发，分AB为菱形的邻边及AB为菱形的对角线两种情况讨论；

（一）AB为菱形的邻边：

      第一种情况：AB=AM时，以A为圆心、AB为半径画圆，交对称轴于、两点。此时点N有两个，菱形如下图所示：

      综上所述，这样的M点有5个，所以对应的N点有5个。

      ②连接MA、MB，题中∠AMB不小于60°，我们先在对称轴上找到∠AMB=60°时的点M；因题目中仅有A、B、C的坐标，，则抓住A、B两点及∠ABO=30°这两个条件解题。大胆假设A、B、M三点共圆，则圆心在线段AB的中垂线上，结合∠ABO=30°，中垂线与y轴交于点F，则∠AFB=120°,是∠AMB=60°的两倍，联想到弧AB所对的圆周角等于其所对圆心角的一半，从而构造以F点为圆心，AF为半径的圆，可得圆与对称有两个交点，当点M的位置在交点时，有∠AMB=60°，也即两交点构成的线段上的点满足条件，从而将∠AMB不小于60°这个条件转化为求圆F与对称轴的两个交点的纵坐标问题。

【反思】：第（3）小题中，应充分挖掘已知条件，找出隐圆，从而问题得到解决.

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