七下尖子生培优系列—平面直角坐标系(10)

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【试题】在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah．例如：三点坐标分别为A（1，2），B（﹣3，1），C（2，﹣2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20．根据所给定义解决下列问题：

（1）若已知点D（1，2）、E（﹣2，1）、F（0，6），则这3点的“矩面积”=　　．

（2）若D（1，2）、E（﹣2，1）、F（0，t）三点的“矩面积”为18，求点F的坐标．

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【分析】

（1）如下图示：

      根据题目中的“矩面积”定义，不难得到：“水平底”a=x_D－x_E=3，“铅垂高”h= y_F－y_E=5，所以“矩面积”S=ah=3×5＝15．

（2）根据题意可以求得a的值，然后再对t进行讨论，如下图示：

“铅垂高”h= y_D－y_F=2－t.

      所以“矩面积”S=ah=5×（t－1）＝18或S=ah=5×（2－t）＝18．解之即可.

详细过程如下：

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【解】（1）由题意可得，

∵D(1，2)、E(﹣2，1)、F(0，6)，

∴a=1﹣（﹣2）=3，h=6﹣1=5，

∴S=ah=3×5=15，

故答案为：15.

（2）由题意可得，

“水平底”a=1﹣（﹣2）=3，

      当t＞2时，h=t﹣1，

      则3（t﹣1）=18，

      解得，t=7，

      所以F（0，7）；

      当1≤t≤2时，h=2﹣1=1≠6，

故此种情况不符合题意；

      当t＜1时，h=2﹣t，

            则3（2﹣t）=18，

            解得t=﹣4，

      所以F（0，﹣4），

      所以，F（0，7）或（0，﹣4）．

【点评】解题的关键是明确题目中（新定义）的相关量的计算方法，结合坐标系求解．

【拓展1】（在原有题干保持不变的情况下）若D（1，2）、E（﹣2，1）、F（t，0）三点的“矩面积”为18，求点F的坐标．

【答案】F（－8，0）或（7，0）.

【拓展2】在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P₁（x₁，y₁）与P₂（x₂，y₂）的“识别距离”，给出如下定义：

      若|x₁﹣x₂|≥|y₁﹣y₂|，则点P₁（x₁，y₁）与点P₂（x₂，y₂）的“识别距离”为|x₁﹣x₂|；

      若|x₁﹣x₂|＜|y₁﹣y₂|，则P₁（x₁，y₁）与点P₂（x₂，y₂）的“识别距离”为|y₁﹣y₂|；

（1）已知点A（﹣1，0），B为y轴上的动点，

①若点A与B的“识别距离为”2，写出满足条件的B点的坐标　　．

②直接写出点A与点B的“识别距离”的最小值　　．

（2）已知C点坐标为C（m，3/4m+3），D（0，1），求点C与D的“识别距离”的最小值及相应的C点坐标．

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【解】①（0，2）或（0，﹣2）；

②“识别距离”的最小值是1；

（2）|m﹣0|=|3/4m+3﹣1|，

解得m=8或－8/7，

当m=8时，“识别距离”为8；当m=﹣8/7时，“识别距离”为8/7.

所以，当m=8/7时，“识别距离”最小值为8/7，相应地，点C的坐标为（﹣8/7，15/7）．

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