2018年九下质检系列——福建惠安倒一题

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（2018·福建惠安九下质检倒一）在平面直角坐标系中，已知直线y=px+q与抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)都经过A（－1，0）、B（0，2）两点．

(1)求直线y=px+q的函数表达式；

(2)求抛物线y=ax²+bx+c的对称轴(用仅含a的式子表示)；

(3)若点M是抛物线对称轴上的动点，点N是直线AB上的动点，MA+MN的和的最小值记为m，当m≥4√5/5时，求a的取值范围．

【图文解析】

(1)（简析）将A、B两点坐标直接代入直线解析式y=px+q即可得解，答案为：y=2x+2.

(2)将A、B两点坐标直接代入直线解析式y=ax²+bx+c即可得：

进一步得到a－b+2=0，所以b=a+2，得到抛物线的解析式为：y=ax²+（a+2）x+c(a≠0).再根据抛物线的对称轴公式可得到：所求的对称为：直线x=－(a+2)/2a=－1/2－1/a.

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(3)首先证明：当MA+MN的和最小时的M、N的位置.

（常见思路：通过对称，利用轴对称的性质结合“两点之间线段最短或垂线段最短”不难找到MA+MN的和最小值的点，本公众号的文章中已有多篇叙述，有兴趣朋友，可能通过本文前的提示（输入关键词“最值”），快速查找到相关的文章）.

      作A点做对称轴的对称点A’,再过A’作A’E⊥AB于E点，当对称轴在A　点右边时，如下图示：

MA+MN≥MA’+MN≥A’N≥A’E

      即当N、M、A’三点在同直线上且与直线AB垂直时，MA+MN的和最小，最小的长度就是A’E的长，即m=A’E.

      同理，当对称轴在A点的左边时，也有同样的结论，如下图示：

      因此本小题就转化为：“求当 (A’E=)m≥4√5/5时，a的取值范围“.下面求解A’E：

      由A（－1，0）和对称轴为直线x=－1/2－1/a，可得AA’的长为｜1-2/a｜.如下图示：

      在Rt△ABO中，sin∠BAO＝OB/AB＝2/(√5)＝2√5/5.

      因此，在Rt△AA’E中，有A’E＝AA’×sin∠BAO＝2√5/5×｜1-2/a｜.由于A’E=m≥4√5/5，所以可得到：

｜1-2/a｜≥2.

      本题又进一步转化为求｜1-2/a｜≥2中a的取值范围.

下面分两种情况：

①当1-2/a≥0时，上式去掉绝对值后，可得：1-2/a≥2，综合可得：1-2/a≥2（“大大取大“），即1/a≤－1/2.

      当1/a＝－1/2时，a=－2.

      再利用反比例函数的性质（可结合函数y=1/x的图象理解）可得：-2≤a＜0.

②当1-2/a＜0时，上式去掉绝对值后，可得：2/a－1≥2，即1-2/a≤－2，综合可得：1-2/a≤－2（“小小取小“），即1/a≥3/2.

      当1/a＝3/2时，a=2/3.

      再利用反比例函数的性质（可结合函数y=1/x的图象理解）可得：0＜a<2/3.

      附：反比例函数y=1/x的图象如下图示：

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