中考复习专项训练——圆（2）
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【试题】已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC ＝∠DBA；
（2）求证：P是线段AF的中点；
（3）若⊙O 的半径为5，AF ＝15/2，求tan∠ABF的值．
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【图文解析】
（1）将相关条件标注上，根据图形的性质和相关定理，不难得到证明，如下图示：
（2）由于△ADF是直角三角形，若P是AF的中点，则有PD＝PA＝PF（得到双等腰三角形，得到∠1＝∠2，∠3＝∠4；反之，若∠1＝∠2或∠3＝∠4（在直角△ADF中），则可得到PD＝PA＝PF，进一步得到P为AF的中点，根据“等角对等边”和“直角三角形中两锐角互余”及“等角的余角相等”.如下图示：
因此，本题就转化为只需证∠1＝∠2或∠3＝∠4即可，对比之下，证∠1＝∠2（均为圆周角）更简单，下面通过三种方法证明∠1＝∠2：
法一：如下图示，
法二：如下图示，
法三：如下图示，
（3）试题如下：“若⊙O 的半径为5，AF ＝15/2，求tan∠ABF的值．”
求三角函数值，必须借助“直角三角形”才可，∠ABF所在的图形中现成的有直角△ABD，也可通过“∠ABF＝∠DAF”转化为直角△ADF，由tan∠ABF＝AD/BD或tan∠ABF＝tan∠DAF＝DF/AF求解即可.但从已知条件“AB＝2OA＝10，AF＝15/2”均无法直接求出，同时不难发现△DAF∽△DBA，因此可能通过相似将这两个直角三角形联系起来考虑，问题就会迎刃而解，如下图示：
易证得△DAF∽△DBA（两角相等），进一步得到：
不难发现我们所要的tan∠ABF＝AD/BD或DF/AD已经出现在上式中，恰好就是两三角形的相似比，同时AF/AB＝（15/2）/10＝3/4.因此tan∠ABF＝3/4.
【反思】
（1）当无法直接求出所需要的比值时，不妨将两种看似不可能解决的式子联系起来考虑，问题往往就会迎刃而解；
（2）在圆的综合应用（计算）中，很多问题往往都是因为“相似”惹的“祸”，为此，当你解题遇到麻烦“山穷水尽”时，也不妨思考一下用“爱也不是、恨也不是”的“相似”，也许立即就会“峰回路转”.
【变式1】已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．若⊙O 的半径为5，tan∠ABF＝3/4，求AF的长．
答案：AF＝15/2.
【变式2】已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，过D点作⊙O的切线交BC的延长线于G． 若⊙O 的半径为5，tan∠ABF＝3/4，求BG的长．
答案：BG＝32/5.
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