中考冲刺复习压轴(纯代(函)数)系列——与交点相关的平移问题
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【试题】已知平面直角坐标系中,抛物线y=x2-(2+m)x+2m+1的顶点为P.
(1)若m=-1/2,求抛物线与x轴的交点坐标;
(2)记顶点P的纵坐标为h,求h的最大值;
(3)已知点A(0,1),B(3,1),当抛物线与线段AB只有一个公共点时,求m的取值范围.
【图文解析】
(1)简析:当m=-1/2时,抛物线为y=x2-3/2x.当y=0时,x2-3/2x=0,解得:x1=0,x2=3/2,所以抛物线与x轴的交点坐标为(0,0)和(3/2,0).
(2)显然应先通过配方,求得顶点P的纵坐标或直接利用顶点公式得到顶点坐标(用m表示),下面分别说明(多数同学在这个地方会出问题,尤其是计算,所以这里详细分析)
法一(配方法):
即h=(-m2+4m)/4(其中m为任意实数),显然要求出h的最大值,需再一次通过配方,得到:
h=-1/4(m-2)2+1,
因此当m=2时,h的最大值为1.
法二(直接用公式),这里略去.
(3)本题最易混淆的是:把本题理解为直线AB与抛物线只有一个公共点,注意试题中说的是与线段AB只有一个公共点.
因此本题不能用常规的“判别式△”来解题,需结合函数图象来解,下面先看动态演示.
(动画只是为了更好理解,更重要的是要从动画中体会:为何是这样的变化情况?在变化过程中你体会到了什么?动画效果与你的想象是否一致?为何需这样考虑?考试中没有动画需要自己想象,通过多观察动画,就会从中得到感受,并可训练自己的动态想象能力)
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上述动画其实展示的就是解题思路,同时要明确以下几点:
一是抛物线y=x2-(2+m)x+2m+1显然是由抛物线y=x2平移得到的,是否任意平移?观察发现:抛物线的平移是有一定规律的:顶点始终在某一抛物线上运动。是什么原因?
由(2)知此抛物线的顶点坐标为
若设t=(2-m)/2,则有m=2t-2,进一步地,有:h=-1/4(m-2)2+1=- (t-2)2+1,即:原抛物线的顶点均在抛物线h=- (t-2)2+1上.
二是抛物线抛物线y=x2-(2+m)x+2m+1始终经过定点P(2,1),而这一点恰好在线段AB上,即抛物线与线段AB永远相交于一点(即公共点P(2,1).理由如下:
原抛物线可化简为:y=(2-x)m+(x2-2x+1),不难得到当x=2时,y=……=1与m的值无关,因此抛物线始终经过点(2,1)(即定点P).
三是要求抛物线与线段AB只有一个公共点,显然只需避开两个公共点即可,如下图示,是三种特殊情况:
因此只需考虑A点和B点的纵坐标与其横坐标对应的函数值之间的大小关系.
把A(0,1)代入抛物线的解析式,得2m+1<1,解得m<0.此时抛物线与线段AB有两个公共点.如下图示:
把B(3,1)代入原抛物线式的解析式,得32-3(2+m)+2m+1<1,解得m>3.如下图示:
当顶点就是定点P(2,1)时,代入原抛物线的解析式,可得m=2.
综上所述,m<0或m>3或m=2.
【反思】认真体会第(3)小题的解题思路,其数形结合思想是解函数类问题的必备方法,理解并体会点的坐标意义与函数解析式及函数值间的关系.
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