一道课本习题的多种变式（角平分线相关）
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[原题再现]：如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠ACB=50°，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,求∠BPC的度数.
【简析】：
本题是学生在学完三角形的内角和以及外角性质之后，课本出现的一道习题。我们通过角平分线的性质可求得：∠PBC=40°，∠PCB=25°，从而根据三角形内角和定理，求出∠BPC=115°.
同学们，当我们做完一道习题，我们能否对这道题进行变式，在变式中拓展自己的思维呢？下面就和老师一起来变化吧。
【变式1】：如图1,在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,求∠BPC与∠A的数量关系。
小结：本题通过三角形的内角和定理以及外角性质探究两条内角的平分线所夹的角与三角形第三个角的关系。
【变式2】如图5,在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB的外角 ∠ACD,求∠P与∠A的数量关系。
【思考】：一条内角平分线和一条外角平分线，他们的数量关系又是怎么样的呢？不仿先通过量角器大胆发现，果然，我们发现他们存在倍数关系，即：∠P=0.5∠A.借助三角形的外角性质，本题不难证明。（当然也可以利用三角形的内角和等于180°进行证明）
【简析】：如图5，
因为BP平分∠ABC,CP平分∠ACD
所以：∠ACD=2∠4，∠ABC=2∠1
由外角性质得：∠P=∠4-∠1
所以：∠A=∠ACD-∠ABC
=2∠4-2∠1
=2（∠4-∠1）=2∠P
即：∠P=0.5∠A.
小结：当三角形的一条内角平分线和外角平分线有交点时，我们不难发现第三个角和这个夹角存在倍数关系。
【变式3】如图6,在△ABC中，BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB的外角,求∠P与∠A的数量关系.
【思考】:三角形的两条外角平分线所夹的角和∠A又有何关系呢，会不会和上面两题的结论有什么联系？
我们发现：∠P=90°-0.5∠A . 具体方法同学们可以模仿变式1的3种证明方法，这里不再具体证明。
总之，在一个三角形中，两条角平分线所夹的角，与三角形的第三个角之间隐藏的关系，我们探索到这里，希望同学们能够做到一题多变，一题多解，发散自己的思维，这样就能举一反三，快乐地遨游在数学的海洋里.
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