中考复习专项训练——圆（4）
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【试题】如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．
（1）求证：AE•FD=AF•EC；
（2）求证：FC=FB；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．
【图文解析】
（1）简析：通过平行，得到相似，得到对应边成比例，进而得到结论，如下图示：
（2）通过CH∥BD，得到△AEC∽△ADF和△AEH∽△ABF，进一步得到CE：DF＝AE：AF和HE：BF＝AE：AF，所以CE：DF＝HE：BF即DF：BF＝CE：EH＝1（E为CH的中点），得到：BF＝DF，如下图示：
进一步，得到：
注意到：图中的一个基本图形.
（3）结合已知条件，不难得到：
进一步，得到△ABF≌△CBF，从而AB＝BG＝2r.此时还是无法直接得到关于r的方程，因此还需通过相似或三角函数的定义列出一个方程.
连接OC，BC，可证得CG是⊙O的切线，如下图示：
为了计算方便，可设FG＝m， 标上相关条件，如下图示：
分别在Rt△OCG和Rt△BFG中，有：cos∠1=OC/OG=r/3r=1/3，cos∠2=BF/FG=2/FG，
同时∠1＝∠2，因此有1/3＝2/FG，
解得FG＝6.
在Rt△BFG中，由勾股定理，得：
BF2+BG2＝FG2，
即22+（2r）2＝62，
解得r=2√2.
当然本题还可根据“相切必有相似”或“勾股定理”或“相似“或三角函数的定义”等综合灵活使用.
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