中考冲刺复习压轴（纯代(函)数）系列——与交点相关的最值问题
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【试题】已知平面直角坐标系中，抛物线G：y=x2+2mx+m2－2m－4的顶点为P.
（1）若m=－1，求P点的坐标；
（2）连接OP，求OP的最小值；
（3）直线y=2x+5/4交抛物线G于A，B两点（A在B的左侧），点C坐标为（－1，n），当CA+CB的值最小时，求m的取值范围.
【图文解析】
（1）常规题，简析：当m=－1时，抛物线为y=x2－2x－1=(x－1)2－2，所以顶点P为（1，－2）.
（2）首先通过配方得到：
y=x2+2mx+m2－2m－4
＝(x+m)2－2m－4，
得到顶点P(－m，－2m－4)
下面通过两种方法求OP的最小值：
法一：由勾股定理得：
OP2＝(－m)2+(－2m－4)2
=5m2+16m+16
=5(m+8/5)2+16/5.
显然当m=-8/5时，OP2最小，最小值为16/5，对应的OP＝4/5×√5.
法二：由顶点P(－m，－2m－4)，得xP=－m，yP=－2m－4=2xP－4，即顶点P的横纵坐标满足yP=2xP－4，因此顶点P在直线y=2x－4（设为l）上运动，根据垂线段最短，当OP⊥直线l时，OP最短.如下图示：
不难得，OP的最小值为4/5×√5.
（3）首先先用m表示出A、B两点横坐标，可联立直线与抛物线的解析式得：
x2+2mx+m2－2m－4=2x+5/4，
整理，得：
4x2+8(m-1)x+4m2-8m-21=0
△＝[8(m-1)]2-4×4×(4m2-8m-21).
=400>0,
得到：
【反思】认真体会第（3）小题的解题思路，其数形结合思想是解函数类问题的必备方法，理解并体会点的坐标意义与函数解析式及函数值间的关系.
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