中考冲刺复习压轴（纯代(函)数）系列——与判别式及性质相关问题

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【试题】已知二次函数y=ax²+bx+c．

①若b=2a+1/2c，那么函数图象一定经过哪个定点？

②若a＜0且c=0，且对于任意的实数x，都有y≤1，求证：4a+b²≤0．

③若函数图象上两点（0，y₁）和（1，y₂）满足y₁•y₂＞0，且2a+3b+6c=0，试确定二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围．

【解析】

（1）将b=2a+1/2c整理为4a﹣2b+c=0，显然符合当x=－2时，对应的函数值，因此该函数图象一定经过的定点的坐标为（﹣2，0）；

（2）根据题目提供的条件和所要证的结论，显然与顶点相关，因此可先求得其顶点的纵坐标.

      当a＜0且c=0时，抛物线的解析式为：y=ax²+bx，其顶点的纵坐标为－b²/(4a)，且图象是开口向下的抛物线，因此该函数有最大值．

      又因原函数对于任意的实数x，都有y≤1，因此有：－b²/(4a)≤1，去分母得：﹣b²≥4a（a＜0），所以4a+b²≤0.

（3）将（0，y₁）和（1，y₂）分别代入原函数的解析式，可得y₁=c，y₂=a+b+c,利用y₁•y₂＞0得c(a+b+c)>0，再结合2a+3b+6c=0（已知条件）进行化简（消去c,因对称轴与c无关）即可得到b与a的关系，相应地得到二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围．

详细解答过程如下：

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【解】（1）由b=2a+12c，可得4a﹣2b+c=0，∵当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=0，∴函数图象一定经过点（﹣2，0）；

（2）证明：此时抛物线解析式为y=ax²+bx，图象是开口向下的抛物线，a＜0．∴顶点纵坐标－b²/(4a)≤1，

∴﹣b²≥4a，∴4a+b²≤0；

（3）由2a+3b+6c=0得：

      6c=﹣（2a+3b），

由题意y₁•y₂=c•（a+b+c）＞0，

即6c•（6a+6b+6c）＞0，

（这一步骤仅为了计算方便，直接代入，然后去分母也可）

      将6c=﹣（2a+3b）代入上式，得：﹣(2a+3b)•(4a+3b)＞0，

(2a+3b)•(4a+3b)＜0，

      为了避开a的符号，两边同除以9a²，(还是为了计算方便)

      即二次函数图象对称轴与x轴交点横坐标的取值范围．

【点评】本题考查了二次函数的定义性质及抛物线与x轴的交点，特别是考查抛物线的顶点与对称轴的特征，尤其是注意解题过程中的化简．

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