2018年九下质检系列——福建莆田倒一
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（2018·福建莆田九下质检倒一）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C，且△ABC为等腰直角三角形.
(1)当A(－1，0)，B(3，0)时，求a的值；
(2)当b=－2a，a<0时.
①求该二次函数的解析式（用只含a的式子表示）；
②在－1≤x≤3范围内任取三个自变量x1，x2，x3，所对应的三个函数值分别为y1，y2，y3.若以y1，y2，y3为长度的三条线段能围成三角形，求a的取值范围.
【图文解析】
(1)简析：如下图示，
由A、B两点坐标及△ABC为等腰直角三角形，不难得到：C(1，2)或 C(1，－2)，因此抛物线可写成y=a(x－1)2+2或y=a(x－1)2+2，将（－1，0）分别代入，可求得：a=1/2或－1/2.（附：图象如下图示）
（2）①当b=－2a时，可抛物线的对称轴为直线x=-b/(2a)=1，因此抛物线可改设为y=a(x－1)2+k(k≠0)，结合如下草图：
因△ABC为等腰直角三角形，可得到B(1+k，0)，将B点坐标代入上述解析式，可得 a(1+k－1)2+k=0，整理得ak2+k=0，即k(ak+1)=0，因k≠0，得ak+1=0，又a<0，所以k=－1/a,所以所求的二次函数的解析式为y=a(x－1)2－1/a，
或y=ax2-2ax+(a2-1)/a.
（2）②由于（-1，0）和（3，0）关于抛物线的对称轴x=1对称，因此在－1≤x≤3范围内任取三个自变量x1，x2，x3，所对应的三个函数值分别为y1，y2，y3为长度的三条线段能围成三角形，只需考虑最短的两条线段（恰好相等）与最长的两条线段能否围成三角形即可.如下图示：
显然当x=－1或x=3时，ymin=a(-1-1)2－1/a=4a－1/a.而ymax=－1/a.根据“三角形中任意两边之和大于第三边”，可得到：
2（4a－1/a）＞－1/a
整理，得：8a>1/a.
下面通过两种方法，求出a的取值范围.
法一：当8a=1/a（a<0）时，解得a=-√2/4，结合函数y=8x和y=1/x（x>0）知，当-√2/4<a<0时，8a>1/a.
所以a的取值为-√2/4<a<0.
法二：将8a>1/a（a<0）去分母，得：8a2<1，即a2<1/8，因a<0，结合y=x2的图象（下图示）知：-√2/4<a<0.
【点评】1.本试题中的条件“△ABC为等腰直角三角形”有点重复，因△ABC本身就是等腰三角形；
2.本题中的第1小题考查的知识点与通常考查相比，相对灵活，方法也多样（本解析只能给出“顶点式”的一种），能较好达到对抛物线的解析式的确定的考查，同时又渗透分类讨论思想.
3.第2、3两问既对含参问题的深层次考查，也同时渗透初高中衔接（利用函数性质解决不等式的相关含参问题）.
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