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2018年九下质检系列——福建莆田倒二

永泰一中 张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16


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(2018·福建莆田九下质检倒二)

如图,AD平分∠BAC,BD⊥AD,垂足为D.点P是AD上一点,PQ⊥AC于点Q,连接BP,DQ.

(1)求证:AQ/AP=AD/AB;

(2)求证:∠DBP=∠DQP;

(3)若BD=1,点P在线段AD上运动(不与A,D重合),设DP=t,点P到AB的距离为d1,点P到DQ距离为d2,记S=d1/d2,求S与t之间的函数关系.

【图文解析】

(1)简析:分别在Rt△AQP和Rt△ABD中,由AD平分∠BAC,得∠CAD=∠BAD,进一步得到sin∠CAD=sin∠BAD,所以AQ/AP=AD/AB.

(当然本题通过相似证明,本质一样)

(2)∠DBP和∠DQP均在四边形BPQD中,虽有直角和垂直,但没有直接联系,需添加辅助建立两角联系,结合已知条件(角平分线与垂直),不难想到添加如下图示的辅助线:



此时可得到∠DQP=∠DMP(通过全等),∠DMP=∠DBP(通过构造“辅助圆”),所以∠DBP=∠DQP(得证),如下图示:

(3)过PPNDQN,则d2PNd1PMPQ,如下图示:

根据(2)中得到的结论,可得:

∵∠DQP=∠DBP

∴sin∠DQP=sin∠DBP,

【反思】解题关键是如何进行角与边的转化(常用全等、相似、辅助圆等),并注意体会.



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