2018年九下质检系列——福建莆田倒二

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（2018·福建莆田九下质检倒二）

如图，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D.点P是AD上一点，PQ⊥AC于点Q，连接BP，DQ.

（1）求证：AQ/AP＝AD/AB；

（2）求证：∠DBP＝∠DQP；

（3）若BD＝1，点P在线段AD上运动（不与A，D重合），设DP＝t，点P到AB的距离为d₁,点P到DQ距离为d₂，记S＝d₁/d₂，求S与t之间的函数关系.

【图文解析】

（1）简析：分别在Rt△AQP和Rt△ABD中，由AD平分∠BAC，得∠CAD＝∠BAD，进一步得到sin∠CAD＝sin∠BAD，所以AQ/AP＝AD/AB.

（当然本题通过相似证明，本质一样）

（2）∠DBP和∠DQP均在四边形BPQD中，虽有直角和垂直，但没有直接联系，需添加辅助建立两角联系，结合已知条件（角平分线与垂直），不难想到添加如下图示的辅助线：

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此时可得到∠DQP＝∠DMP（通过全等），∠DMP＝∠DBP（通过构造“辅助圆”），所以∠DBP＝∠DQP（得证），如下图示：

（3）过P作PN⊥DQ于N，则d₂＝PN，d₁＝PM＝PQ，如下图示：

根据（2）中得到的结论，可得：

∵∠DQP＝∠DBP，

∴sin∠DQP＝sin∠DBP,

【反思】解题关键是如何进行角与边的转化（常用全等、相似、辅助圆等），并注意体会.

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