2018年福州屏东与泉七九下质检(一)联考倒一
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已知：点A(a，b)在抛物线y=x2－4x+5上，一次函数y=mx+n的图象l经过点A．
(1)当a=3时,求6m+2n的值；
(2)若直线l与抛物线只有一个公共点．
①求m关于a的函数关系式；
②如果直线l与抛物线的对称轴相交于点B，点P在对称轴上，当PA=PB时，求点P的坐标．
【图文解析】
（1）简析：当a=3时，b=32-4×3+5＝2＝b,得到A(3,2)，再代入直线解析式，得：3m+n＝2，所以6m+2n－1=2(3m+n)－1=2×2－1＝3.
（2）①由于点A(a，b)既在抛物线y=x2－4x+5上，也在直线y=mx+n上，因此有：b= a2－4a+5且b=am+n，因此有：am+n= a2－4a+5……(*).
联立直线与抛物线的解析式（求交点的常法，必须理解明白并掌握哦！），得x2－4x+5 =mx+n，整理得：x2－(4+m)x+5－n =0,当直线l与抛物线只有一个公共点时，△＝(4+m)2-4(5－n)=0,
现在应该试着如何画出草图，如何想象出题中的图象？别急着看后面的分析和动态图（插入一段广告，，好好思考，珍惜机会，让自己大胆思考并想象，这样就会提高空间想象能力！）
先观察动态图，通过观察，要达到两个目标，一是在无图时，能画出符合条件的草图；二是要能想象当a值改变时，图象会产生如何变化，然后抓住关键点进行分析思考；三是通过动态图，目的是通过实际动态与实际想象联系起来，时间久了，自然就会做到“心中有图”.
(别忘了给作者一个鼓励，点个赞哦！)
下面结合草图进行分析：
标注相关已知条件，如下图示：
不难得到：
PA2＝(a-2)2+(a2-4a+5-t)2
PB2=(t+a2-4a+3)2
由PA＝PB得PA2＝PB2，
因此有：
(a-2)2+(a2-4a+5-t)2=(t+a2-4a+3)2
如果直接计算，显然计算量惊人，但若适当“换元”（整体替换），将“难受”的式子进行“替换”，再利用平方法差公式就简单多了（算法算理），为此设a2-4a+5-t＝p，则a2-4a＝p+t-5, p+t= a2-4a+5，同时有t+a2-4a+3＝t+p+t-5+3=p+2t-2，原等式可化为（下面是详细化简过程，多数同学其实就败在此处，所以笔者特别详细将过程给出）：
(a-2)2+p2=(p+2t-2)2
(a-2)2=(p+2t-2)2-p2
(a-2)2=(2p+2t-2)(2t-2)
(a-2)2=4(p+t-1)(t-1)
(a-2)2=4(a2-4a+5-1)(t-1)
(a-2)2=4(a-2)2 (t-1)
得到(a-2)2[1-4(t-1)]=0
即(a-2)2 (5-4t)=0
又因a－2≠0，
（当a=2时，m=2a-4=0，而一次函数y=mx+n中的m≠0）.
所以5-4t=0,
得到t=5/4.
所以P（2，5/4）.
或：
设(a-2)2=s，则有a2-4a+5-t＝(a-2)2+1-t=s-t+1，t+a2-4a+3＝(a-2)2－1+t=s+t－1.
s+(s-t+1)2=(s+t-1)2
s=(ps+t-1)2-(s-t+1)2
s=2s(2t-2)
(根据平方差公式)
s=4s(t-1)
s(5-4t)=0
……，
下同.
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