两节课中的同一道题——中位线和斜边中线的教学实例
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两节课中的同一道题
——中位线和斜边中线的教学实例
中位线定理和斜边中线关系定理,是人教版八年级下册,比较精彩的两个知识点。有些看似无从下手的题,用这两个知识点,就会有惊喜,妙不可言。以下是我在这两个知识点的教学中,两个课时的教学实例,请大家多多指教。
习题课(部分):构造中位线解决问题
如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,点M为BD的中点,点N为AC的中点,MN与AC的位置关系如何?请说明理由。
结论:MN垂直平分AC
理由如下:
方法一:取AB、BC的中点E、F,连接ME、MF,
∵点M是BD的中点
∴ME是△ABD的中位线,MF是△BCD的中位线
∴ME‖AD MF‖BC
∵∠BAD=∠BCD=90°
∴ME垂直平分AB,MF垂直平分BC
连接AM、CM,则有AM=BM=CM
∵点N是AC的中点
∴MN垂直平分AC
也可同时取AD、CD中点,构造中位线,同样的道理。
还可同时AB、CD取的中点,或同时取AD、BC中点,灵活多样,道理相同。
进而得出:直角三角形中,连接斜边中点和一直角边中点的中位线,垂直平分这条直角边。
这时,有一个学生提出了另一种思路:
方法二:延长AD到E,使AE=AD,连接BE,延长DC到F,使CF=CD,连接BF,则点A和点C成为中点,与M相连构成中位线,由已知可得BA垂直平分DE,BC垂直平分DF,BE=BD=BF,所以AM=CM,可证MN垂直平分AC
讲完这个解题思路,同学们的觉得豁然开朗,喜悦之情溢于言表。
小结:
中点、中位线、垂直平分线、等腰三角形在题中往往组团出现,要善于观察发现,灵活运用知识点的联系,巧妙解决问题。
新授课:认识矩形、学习斜边中线定理
第一步:大家一起画一个圆,再画出一条直径AB;在圆上任取一点C,连接AC、BC、OC.试判断△ABC的形状,并说明理由。
解:△ABC是直角三角形
理由如下:
由图可知:OA=OB=OC (小学知识:同圆的半径相等,半径是直径的一半。)
∴∠1=∠2 ∠3=∠4
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°
∴∠2+∠3=0.5Х180°= 90°
∴∠ACB =90°
∴△ABC是直角三角形.
引导探究:
⑴在Rt△ABC中,点O是什么身份?OC是什么身份?OC与AB有怎样的数量关系?
(从半径直径的关系分析得出:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。)
⑵点C是圆上任意一点(不与A、B重合),移动点C,⑴中关系还成立吗?
(∠ACB =90°,OC=0.5AB都成立)
⑶除了线段的倍半关系,有角的倍半关系吗?
(∠1=∠2=0.5∠5 ∠3=∠4=0.5∠6)
第二步:延长CO交圆上于点D,连接AD,BD.
⑴ 求∠CAD和∠CBD的度数;
⑵ 猜想四边形ACBD是平行四边形吗?说明理由;
⑶ 四边形ACBD和一般的平行四边形相比,还具备什么特殊的性质?
(引导学生说出矩形的定义和性质。)
观察:在矩形ABCD中,有几个直角三角形?它们的斜边分别是 ,它们斜边上的中线分别是 。
(从矩形的对角线互相平分且相等的角度,又一次得出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.)
再次拿出上节课的那道题,用新知识再做一遍.
如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,点M为BD的中点,点N为AC的中点,MN与AC的位置关系如何?请说明理由。
解:MN垂直平分AC.
理由是:连接AM,CM
∵∠BAD=∠BCD=90°,M是BD的中点
∴AM=1/2BD CM=1/2BD
∴AM=CM
又∵点N是AC的中点
∴MN垂直平分AC.
与原来中位线的方法相比,更加的简洁,就有了学习新知识的喜悦感和成就感。
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下面还有,继续……
小结:
1.在圆上不与直径端点重合的任意一点,与直径的两个端点构成的三角形是直角三角形。在这个直角三角形当中,斜边是圆的直径,斜边上的中线是圆的半径,由半径是直径的一半,可以得出:直角三角形斜边上的中线是斜边的一半。
2.顺次连接圆的两条直径的四个端点,可得到一个矩形,直径是对角线,圆心是对角线的交点,以对角线为斜边的直角三角形有四个。由矩形的对角线互相平分且相等,同样可以得出:直角三角形斜边上的中线是斜边的一半。
3.直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形,可以得出两组角的倍半关系。
4.运用“斜边上的中线等于斜边的一半”去解题,简洁高效——你值得拥有。
感悟与反思:
斜边中线的关系定理,理解起来并不难,而解题时很多同学总是想不到,看不到。矩形是特殊平行四边形的第一节,为了避免特殊平行四边形之间,性质与判定的混淆,通过“化圆为方”学习矩形和正方形,是我本学期的尝试,效果不错。半径和直径的关系是小学知识,初中阶段圆虽是九年级上册的内容,“直径所对的圆周角是直角”“同弧所对的圆周角是圆心角的一半” 提前渗透一下,应该是有好处的;而且“半径、弦、弦心距”与“等腰三角形的腰、底、三线合一”也是对应联系的,所以有必要从初中阶段全局的角度,备课上课。中招的准备不能到九年级才开始,应该在七年级就开始了。
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