中考冲刺压轴系列——常考的几何动态题——三角形与四边形相关(2)
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【说明】本系列的试题综合性均较强，难度适中，尤其是在训练读图、画图、识图、作图及变式方面有一定的帮助作用，同时本系列试题多数适合于中考中的中档和压轴题（填选压轴或纯几何压轴），阅读时务必要体会“动中有静”的动态变化思想.
【试题】已知：如图所示，O为等腰直角△BCD斜边BD的中点，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）OG与BF有什么数量关系？证明你的结论；
（3）若GE•GB=4﹣2√2，求△DBG的面积．
【图文解析】
（1）图文简析：根据SAS不难证明，
如下图示，
（2）由（1）的结论，可进一步证得：BG⊥DF（常规，需熟练掌握），再结合BE平分∠DBC，可证得G是DF的中点.如下图示：
最后利用三角形的中位线定理，可以得到OG∥BF，且OG＝0.5BF，如下图示：
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下面还有，继续……
（3）由已知条件“GE•GB=4﹣2√2”易联想到“相似”——比例式——乘积式“，如下图示：
通过“AA“相似，得到DG2＝GE×GB＝4﹣2√2.
另一方面，因图中有多个相等的量，且有等腰三角形和直角三角形多个，因此可考虑通过设元（方程思想）通过勾股定理或相似来解决.
设BC＝CD＝m，如下图示，
则在Rt△DCF中，由勾股定理，得：
m2+[(√2-1)m]2=(2DG)2=4DG2,
（4﹣2√2）m2=4（4﹣2√2），
得到m2=4.
因此,S△BDG＝0.5S△BDF＝0.5×0.5BF×CD=…=0.25√2×m2=√2.
【反思】注意通过全等、相似进行边与角的转化，通过方程（设元）简化思路和计算．
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