2018年九下质检系列——福建厦门倒一

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（2018·福建厦门九下质检倒一）

已知二次函数y=ax²+bx+t-1，t<0,

(1)当t=－2时，

①若函数图象经过点（1，－4），（－1，0），求a，b的值；

②若2a－b＝1，对于任意不为0的实数a，是否存在一条直线y=kx+p(k≠0)，始终与函数图象交于不同的两点？若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由.

(2)若点A（－1，t），B（m，t－n）(m>0，n>0)是函数图象上的两点，且S_△AOB=0.5n－2t，当－1≤x≤m时，点A是该函数图象的最高点，求a的取值范围.

【图文解析】

（1）当t=－2时，二次函数为y=ax²+bx-3.

①简析：将（1，－4）和（－1，0）分别代入y=ax²+bx-3，得到关于a、b的方程组，解之可得a=1，b=－2.

②由2a－b=1，可得b=2a－1，则原二次函数为y=ax²+(2a－1)x-3.

由”对于任意不为0的实数a”联想到“抛物线与定点”（本公众号已有多篇类似的文章，可按“如何快速查找到本公众号的文章（直接点击标题打开）“，输入关键词“定点”可搜索到一系列类似的文章）中.

为此可以将二次函数的解析式进行化简整理，得：y+x+3=a(x²+2x)，根据“0乘以任何数等于0”（因a任意不0的实数）可得：x²+2x＝0且y+x+3＝0，得到x=0时y=-3和x=-2时y=－1，所以两定点坐标为(0，－3)和(－2，－1)，即抛物线一定经过(0，－3)和(－2，－1)，不难求得过这两点的直线的解析式为y=－x－3.即直线y=－x－3始终与二次函数图象交于(0，－3)和(－2，－1)两点，因此此直线符合题意.如下图示：

再看动态演示：

不难得到，只要经过点（0，－3）或（－2，－1）的直线与抛物线又有一个交点即可符合题意.

再进一步地，不难明白：若设两定点分别为A、B，实际上只需经过线段AB（不含两端点）上的任意一点，作任意不与y轴平行的直线（k≠0）均可符合这条直线与抛物线有两个交点，请看下列动态图：

因此我可以取线段AB：y=-x-3（－2＜x<0，不含端点）上的任意一点，如取（-1，－2）和坐标平面内任意一个与之不重合的点（如（0，0）构造直线（如直线y=2x），即可得到所求的直线解析式.

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下面是试卷答案给出的另一解法：

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    (写解题文章也不容易，不间断地坚持写更不容易，坚持到今天，更多的来自朋友们的鼓励和关注！您的点赞，就是给予我一份信心，别忘了，给作者一个鼓励，点个赞哦！)

下面还有，继续……

（2）把A(－1，t)代入原解析式得：b＝a-1

所以y=ax²+(a－1)x+t-1

由A(－1，t)，B(m，t－n)且S_△AOB=0.5n－2t，由t<0，m>0，n>0，可画出如下图示的草图，

结合图形，可得：

0.5[(－t)+(n－t)](m+1)-0.5×1×(-t)

－0.5×（n－t）m=0.5n－2t

解得m=3.

（可画草图——结合坐标系.不必拘束点A、B不明确，你只需“敢画且画出符合条件的草图“即可，特别要注意的是条件：m>0，n>0得到，计算量较大，没法子，只能认真去算了，这本身就是一个非常重要的能力.上述有三个参数，计算后居然可得到m=3，巧！但在情理之中，否则试题无法解下去哦！）

所以A（－1，t），B（3，t-n）,且t＞t－n(因n>0).

由“当－1≤x≤3（m=3）时，点A是该函数图象的最高点“可得：

当a>0时，y_A>y_B，分别将A和B点坐标代入得：

 a－(a－1)+t-1>9a+3(a－1)+t-1

a－(a－1)>9a+3(a－1)，解得：a<1/3.

      或者：当a＞0时，抛物线y=ax²+(a－1)x+t-1的开口向上，不论A、B两点都在左侧或A在左侧、B在右侧（不可能均在右侧，否则B点成为最高点），均有y_A>y_B.故有上述结论.

      当a<0时，抛物线y=ax²+(a－1)x+t-1的开口向下，对称轴为直线x=-(a-1)/(2a)，在－1≤x≤3这个范围内，要想使A(－1，t）为最高点，必须A点在对称轴轴的右边（A点在对称右边时，－1≤x≤3范围内的对应的点均在对称轴右边，y随x的增大而减小），因此-(a-1)/(2a)≤－1，即-a+1≥－2a，解得a≥－1，综合得－1≤a＜0.

      综上所述，a的取值范围为a<1/3或－1≤a＜0.

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