2018年九下质检系列——福建泉州倒二
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（2018年福建泉州九下质检倒二）
如图1，在矩形ABCD中，,点E从点B出发，沿BC边运动到点C,连结DE，过点E作DE的垂线交AB于点F.
(1) 求证：∠BFE＝∠ADE；
(2) 求的最大值；
(3) 如图2，在点E的运动过程中，以EF为边，在EF上方作等边△EFG,求边EG的中点H所经过的路径长.
图文分析：
（1） 本题主要考察平行线的性质以及三角形的内角和定理，证明两个角相等，往往需要寻找第三个角作为桥梁。
解答如下：
如下图3，
在矩形ABCD中，∠B=90°，
∴∠BFE+∠BEF=90°，
又∵EF⊥DE,
易得：∠BEF+∠DEC=90°
∴∠BFE=∠DEC,
由AD∥BC可得：∠ADC=∠DEC
所以：∠BFE＝∠ADE；
（2）求线段的最值，方法有很多，可以采用几何法求最值，或者构造函数关系求最值。本题E,F都是动点，所以构造函数关系求解.
如图4，在矩形中，显然,又因为,自然想到一线三直角，构造三角形相似，即：
(3)先观察本题的动态图:
我们可以发现点H的运动路径是一条线段.
考场中，如何想到路径是一条线段？这就需要培养学生正确的画图能力，不仿在同一个图中取三个特殊位置，分别是点E与B重合，点E在BC中点，点E与C重合，如下图：
学生通过精确画图，根据点H的变化情况，自然就可以大胆猜测点H的轨迹是一条线段，接下来，我们一起来证明。
如图5，看到“一线双直角”，我们要马上联想四点共圆，取EF的中点M,根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，易得BM=ME=MF=MH,所以B,E,H,F四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等， 得到∠HBE=∠EFH=30°.
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变式2：在正方形ABCD中，边长为3，点E从点B出发，沿BC边运动到点C,连结DE，过点E作DE的垂线交AB于点F，以EF为边，在EF上方作等腰直角△EFG，其中∠G=90°,求点G所经过的路径长.
小结：对于轨迹问题，在初中阶段主要还是考查轨迹为线段，圆（或圆弧）。在寻找轨迹时，需要同学们精准画出几个特殊点的位置，从而大胆去判断轨迹的形状，再来进行定角的证明。同学们，探索数学的路程是艰辛的，但是经历一番风雨后，你定将更加优秀。
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