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2018年九下质检系列——福建泉州倒二

福建晋江 黄勤程 初中数学延伸课堂 2022-07-16


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(2018年福建泉州九下质检倒二)

如图1,在矩形ABCD中,,点E从点B出发,沿BC边运动到点C,连结DE,过点EDE的垂线交AB于点F.

(1)  求证:∠BFE=∠ADE;

(2)  的最大值;

(3)    如图2,在点E的运动过程中,以EF为边,在EF上方作等边△EFG,求边EG的中点H所经过的路径长.



图文分析:

(1) 本题主要考察平行线的性质以及三角形的内角和定理,证明两个角相等,往往需要寻找第三个角作为桥梁。

解答如下:

     如下图3,

在矩形ABCD中,∠B=90°,

∴∠BFE+∠BEF=90°,

又∵EF⊥DE,

易得:∠BEF+∠DEC=90°

∠BFE=∠DEC,

AD∥BC可得:∠ADC=∠DEC

所以:∠BFE=∠ADE;

(2)求线段的最值,方法有很多,可以采用几何法求最值,或者构造函数关系求最值。本题E,F都是动点,所以构造函数关系求解.

  如图4,在矩形中,显然,又因为,自然想到一线三直角,构造三角形相似,即:



(3)先观察本题的动态图:

 

我们可以发现点H的运动路径是一条线段.

考场中,如何想到路径是一条线段?这就需要培养学生正确的画图能力,不仿在同一个图中取三个特殊位置,分别是点EB重合,点EBC中点,点EC重合,如下图:

学生通过精确画图,根据点H的变化情况,自然就可以大胆猜测点H的轨迹是一条线段,接下来,我们一起来证明。

如图5,看到“一线双直角”,我们要马上联想四点共圆,取EF的中点M,根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,易得BM=ME=MF=MH,所以B,E,H,F四点共圆,根据同弧所对的圆周角相等,  得到∠HBE=∠EFH=30°.



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变式2:在正方形ABCD中,边长为3,点E从点B出发,沿BC边运动到点C,连结DE,过点EDE的垂线交AB于点F,以EF为边,在EF上方作等腰直角△EFG,其中∠G=90°,求点G所经过的路径长.


小结对于轨迹问题,在初中阶段主要还是考查轨迹为线段,圆(或圆弧)。在寻找轨迹时,需要同学们精准画出几个特殊点的位置,从而大胆去判断轨迹的形状,再来进行定角的证明。同学们,探索数学的路程是艰辛的,但是经历一番风雨后,你定将更加优秀。



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