2018年九下质检系列——福建厦门填空倒一

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【原题再现】在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿∠B的平分线折叠，使点A落在BC边上的点D处， 设折痕交AC边于点E，继续沿直线DE折叠，若折叠后，BE与线段DC相交，且交点不与点C重合，则∠BAC的度数应满足的条件是            .      

【思路点拔】本题没有图形给学生给予了很大的思维空间，同时也给学生的答题带来了很大的难度，很好的考查了学生的作图能力。解决这个问题根据题意准确作图是关键。根据问题我们应先确定出它的临界位置（∠BAC的度数应小于180°，当BE折叠后在直线AC上时有最小值，如图1），再来求解.

根据折叠的性质，可知∠BAD=∠BDA，

∠AEB=∠BED，∠BED=∠B’ED.所以∠AEB=∠BED=∠B’ED.又因为A、E、C在同一直线上，所以它们的和等于180°，从而得出它们每个角度数为60°.再利用方程思想一，列出一元一次方程即可求出∠BAC=100°，从而得出∠BAC的取值范围是100°<∠BAC<180°.

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【图文解析】

解：如图2，

当BE沿DE翻折后刚好落在直线AC上时，则根据翻折的性质有∠AEB=∠BED，∠BED=∠B’ED.

∵∠AEB+∠BED+∠B’ED=180°，

∴∠AEB=∠BED=∠B’ED=60°.

∵点A与点D是关于BE对称的点，

∴AD⊥BE,AB=BD,

∴∠EAF=90°-60°=30°,

设∠BAD=∠ADB=x,则

∵∠ADB是△ACD的外角，

∴∠ACB=x-30°,

∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB,

∴2(90°-x)=x-30°,

解得：x=70°,

∴∠BAC=100°,

∴100°<∠BAC.

∵∠BAC<180°,

∴100°<∠BAC<180°.

【考点归纳】本题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质、角平分线的定义、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理等知识，考查了学生综合运用知识的能力，以及空间思维作图能力，对转化数学思想和方程思想也进行了考查。

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【变式】如图3，在△ABC中，AB=AC，P为其底角平分线的交点，将△BCP沿CP折叠，使B点恰好落在AC边上的点D处，若DA=DP，则∠A的度数为               .

【图文解析】

解：如图4，连接PA，

【方法提练】解决等腰三角形中的折叠问题，

关键是利用好折叠的性质，抓住折叠的实质就是轴对称，有对应角相等，对应边相等，对称轴垂直平分对应点所连线段，再充分利用三角形的外角性质和内角和定理，找出各角的数量关系及等量关系，列出方程进行求解。

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