2018年九下质检系列——福建宁德倒二
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（2018年福建宁德九下质检倒二）
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是BC上一个动点，连接AD，以AD为边向右侧作等腰直角△ADE，其中∠ADE=90°.
(1)如图1，G，H分别是边AB，BC的中点，连接DG，AH，EH，求证：△AGD∽△AHE；
(2)如图2，连接BE，直接写出当BD为何值时，△ABE是等腰三角形；
(3)在点D从点B向点C运动过程中，求△ABE周长的最小值．
【图文解析】
(1)将相关条件标注上，如下图示：
不难得到AB=√2AH＝2AG，AE=√2AD（△ABH和△ADE均有等腰直角三角形，得到AH/AG＝AE/AD＝√2，所以AB/AD＝AE/AH，同时有：
因此△AGD∽△AHE.
（2）分三种情况：
(显然AB＝4√2)
情形1：当AB＝BE时，如图示，此时BD＝0.
情形2：当AB＝AE时，如下图示，此时BD＝2√2（=0.5AB）.
情形3：当AE＝BE时，则E必在AB的垂直平分线上，如下图示，
由∠ADE＝900，不难想到下列常用辅助线，并可以得到：
因此AH＝2t=0.5BC＝2√2，得t=√2，进一步得到BD＝BH－DH＝2t－t==√2.
综上所述，BD＝0或√2或2√2.
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下面还有，继续……
（3）首先可证点E的运动路径是一条线段.添加如下图示的辅助线：
通过全等，可得到CM＝ME，进一步得到∠ECM＝450（定角），且C点和直线BC为定直线，因此E点的运动路径是一条线段，如下图示：
D点与B点重合时，
于是，求△ABE周长最小问题就转化为，A、B两点为定点，E点在线段CE上，BE+AE的最小问题了（因AB＝4为定值），为此不难得到以下辅助线和计算方法：
得到BE+AE＝BE+EA’≥BA’=…＝4√5.进一步得到△ABE周长的最小值为4√5.
或：
下同.
解答过程如下：
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