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2018年九下质检系列——福建三明倒二

永泰一中 张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16


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(2018·福建三明九下质检倒二)

已知:如图①,△ABC∽△ADE,∠BAC=∠DAE=90°,AB=6,AC=8,点D在线段BC上运动.

(1)当AD⊥BC时(如图②),求证:四边形ADCE为矩形;

(2)当D为BC的中点时(如图③),求CE的长;

(3)当点D从点B运动到点C时,设P为线段DE的中点,求在点D的运动过程中,点P经过的路径长(直接写出结论).



【图文解析】

(又是一道“旋转相似”题,本公众号已有多篇文章,请输入关键词,按本公众号提供的搜索,即可得到一系列类似的文章)

(1)简析:当AD⊥BC时,如下图示:


      由已知条件不难得到:△ADE≌△DAC(AAS),如下图示:

      得到AE=CD,同时易证AE∥CD,所以ADCE是平行四边形,又∠DAE=900,所以四边形ADCE是矩形.(本题证法多种,都简单类似)



(2)当D为BC中点时,如下图示:

法一:(旋转相似)如下图示:

由△ABC∽△ADE,得AB/AD=AE/AC,即AB/AC=AD/AE,又∠BAD=∠CAE,可得△ABD∽△ACE,所以BD/CE=AB/AC,而BD=0.5BC=5(根据勾股定理和直角三角形的性质可得),AB=6,AC=8,所以5/CD=6/8,解得CD=20/3.

法二:(利用对称性质)如下图示:

进一步,有:

      再通过已有的相似求得AE,从而得到CE的长.虽麻烦,但很有意义,此时的图可以得到很多结论,如DE∥AB,DE平分∠ADC,也为第三小题做了铺垫。



    (坚持写解题文章也不容易,您的点赞,给予我的是信心,您的分享给予我的是动力。别忘了,给作者一个鼓励,点个赞哦!)

下面还有,继续……



(3)典型的“旋转相似“而产生的路径问题。

      观察动画,认真体会。

      下面先证:其运动路径是一条线段(定点、定线、定角),思考时可先选取特殊情况下的图形,再结合一般情况,然后通过“旋转相似”……,如下图示:

      取BC的中点F,连接AF和FP(实际上就是D与B点重合时的位置),得到AF/AB=0.5BC/AB,AP/AD=0.5DE/AD,由△ABC∽△ADE得BC/AB=DE/AD,所以有AF/AB=AP/AD,同时不难证∠BAD=∠FAP(均∠DAF的余角,或利用“等式的性质“),得到△BAD∽△FAP,得到∠AFP=∠B(为定角),因此P点在与AF构成的角为∠B的直线上运动。

      如下图示:

      可以发现它的运动路径就是上图中的△BCG的中位线FH=0.5BG,BG求法如下(方法多种):

分别在直角三角形ABC和直角三角形BCG中,由cosB=AB/BC=BC/BG得:

6:10=10:BG,解得BG=50/3.

      所以FH=25/3.即所求的点P的运动路径长为25/3.



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