中考冲刺复习压轴（纯代(函)数）系列——与函数性质及最值相关问题2

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【例1】已知二次函数y=x²﹣x﹣2及实数a＞﹣2，求

（1）函数在一2＜x≤a的最小值；

（2）函数在a≤x≤a+2的最小值．

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【解析】

      配方，得：二次函数y=x²﹣x﹣2=(x－1/2)²-9/4，顶点为（1/2，-9/4）

对称轴为直线x=1/2.其图象如下图示：

（1）当－2＜a≤1/2（a>-2）时，（可结合函数图象的草图），其对应的图象在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，所以当x=a时，y_min=a²﹣a﹣2．而当a≥1/2时，y_min=﹣9/4（即为抛物线的顶点），.

（2）需要对a≤x≤a+2与对称轴x=1/2进行比较，分类讨论（根据对称轴位置分三种情况说明）：

      当a＞﹣2且a+2＜1/2，即﹣2＜a＜﹣3/2时，在自变量a≤x≤a+2范围内的y随x的增大而减小（其图象在对称轴的左侧），所以其最小值为y_min=（a+2）²﹣（a+2）﹣2=a²+3a(即当x=a+2时，函数取得最小值)，

      当a≤1/2≤a+2，即﹣3/2≤a≤1/2时，函数的最小值为y=﹣9/4（此时即为顶点取得最小值）．

      当a＞1/2时，在自变量a≤x≤a+2范围内的y随x的增大而增大（其图象在对称轴的右侧），所以其最小值为y_min=a²﹣a﹣2 (即当x=a时，函数取得最小值).

【点评】本题考查了二次函数的最值，关键是题中要根据抛物线的开口方向与对称轴分析x的取值范围，再结合图象得出最值，同时要特别注意：需分类讨论．

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【例2】若函数y=x²+ax+b在0≤x≤2上有最小值﹣1/4，最大值2，若﹣4≤a≤﹣2，求a，b的值．

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【分析】首先求得抛物线的对称轴为x=-a/2，然后根据”抛物线开口向“，再结合x的取值范围和－4≤a≤﹣2，确定出1≤-a/2≤2，结合函数的图象，由抛物线的性质可知：当x=﹣a/2时，有最小值，当x=0时，有最大值．

【解】抛物线的对称轴为x=-a/2，

∵﹣4≤a≤﹣2，∴1≤-a/2≤2．

∵函数y=x²+ax+b在0≤x≤2上有最小值﹣1/4，最大值2，

∴当x=-a/2时，有：

当x=0时，有最大值，即b=2．

解得：b=2，a₁=﹣3，a₂=3（舍去）．

∴a=﹣3，b=2．

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【反思】二次函数的最值问题，总是与抛物线的开口方向、对称轴及自变量的取值范围密切相关的．

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