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2018年九下质检系列——福建福州倒二 (文中至少有13种解法)

永泰一中 张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16


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(2018·福建福州九下质检倒二)

已知菱形ABCD,E是BC边上一点,连接AE交BC于点F.

(1)如图1,当E是BC中点时,求证:AF=2EF;

图1

(2)如图2,连接CF,若AB=5,BD=8,当△CEF为直角三角形时,求BE的长;

图2

(3)如图3,当∠ABC=90°时,过点C作CG⊥AE交AE的延长线于点G,连接DG,若BE=BF,求tan∠BDG的值.

图3



【图文解析】

(1)简析:直接通过AD∥BC,得到△BEF∽△DAF,得到AF:EF=AD:BE=2:1(E是BC的中点,且由菱形的性质知:BC=AD),所以AF=2EF.

(2)当△CEF为直角三角形时,显然需要分类讨论(需根据不同情况画出符合题意的图形,再利用菱形和直角三角形的性质解决):

①当∠CEF=900时,标注相关条件,连接AC(与对角线相关、且为菱形,连接AC为常用辅助线),并利用相关性质,不难得到(如下图示):

得到AC=2OA=6从而S菱形=0.5AC×BD=…=24,又S菱形=BC×AE=5AE,所以5AE=24,得AE=24/5.

      在Rt△ABE中,由勾股定理,得BE=……=7/5.下图示:

②当∠CFE=900时,不难得到:

所以, DF=7,BF=8-7=1.

      由AD∥BC,通过相似及相似的性质,进一步得到:

      BE:AD=BF:DF

           即BE/5=1/7

      解得BE=5/7.

      当然,也可用下列方法或解析法(建系)来解,但都较麻烦.

③由于点E在BC边上,有∠ECF≤∠ECA<900,因此∠ECF=900不存在.

综合所述,BE=7/5或5/7.



 (3)当∠ABC=900时,四边形ABCD是正方形,同时CG⊥AE于G,由此可得到图中有很直角(当然相等),想到辅助圆,(本公众号也有较多相关文章,可点击“如何快速查找到本公众号的文章”打开,按照提示的方法同,输入关键词“辅助圆”,可获得相类似的系列文章,有兴趣的朋友可试试看).

得到∠BDG=∠BAE.



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      其实本题还可以通过面积法和轴对称法等进行转化,但都相对较难,有兴趣的朋友可以到魔方群(530471110)中讨论.

【点评】本题考查的知识较多且综合,尤其是考查了辅助圆相关的内容,遗憾的是本题的“重要角”成了“准特殊角”,若将本题中的条件“BE=BF”改为“一个确定的条件(如tan∠FBF=2/3)”那可能会更完美些.

【反思】虽然本题解析提供了多种解法,但解法本质无非是辅助圆法、旋转法、对称法、解析(建系)法等,其实对于矩形与正方形相关的试题而言,这些方法通常都可适用.



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